Question

F(x)=x^4-1 исследуйте функцию пожалуйста дам 25баллов​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Для начала найдем область определения функции, и ее потенциальные точки разрыва

1)D(f)=R, точек разрыва нет

2) проверим функцию на четность, очевидно функция четная, т.к. при подстановке вместо икс минус икс функция вида не изменит.

3) найдем нули функции и знак функции на полученных интервалах, для этого разложим функцию на составляющие x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)

Приравняем это к нулю, тогда x=1 x=-1

Исследуем знак функции на промежутках от минус бесконечности до минус 1, от минус 1 до 1, и от 1 до +бесконечности. Для этого подставим любую точку из промежутков и получим знаки +-+ (значит на промежутке от -беск до -1 и от 1 до+беск, функция выше оси Ох, на промежутке -1 до 1 функция ниже оси Ох)

приравняв к нулю икс, получим игрик равный -1

4)найдем ассимптоты, так как точек разрыва нет, то и вертикальных ассимптот нет, найдем наклонную асимптоту, для этого вычислим предел

$\lim_{x \to \infty} (x^4-1)/x$ стремится к бесконечности, а значит ассимптот нет

5)Исследуем точки экстремума и интервалы монотонности, тогда найдем производную

4x³  и приравняем ее к нулю 4x³=0, откуда x=0. Найдем знаки слева и справа от нуля, слева минус справа плюс, значит слева от нуля функция убывает, а справа возрастает. Т.к. 0 принадлежит области определения функция, то подставим его в изначальное уравнение, получим -1. Точка (0,-1) - точка экстремума, т.к. в этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, то это точка минимума

6) найдем точки перегиба. Для этого найдем вторую производную - производную от производной = 12x^2. приравняем к нулю и вновь получим 0, найдем знаки слева и справа, с обеих сторон +, значит функция выпукла вниз на всей области определения, и точка 0 не является точкой перегиба

7) нужно построить график по всем значениям которые мы получили

Answer 2

Function Analysis: F(x) = x^4 - 1

To analyze the function F(x) = x^4 - 1, we will examine its properties such as the domain, range, symmetry, intercepts, and critical points.

Domain: The domain of a function represents all the possible input values for which the function is defined. In this case, since the function F(x) = x^4 - 1 involves raising x to the power of 4, it is defined for all real numbers. Therefore, the domain of F(x) is (-∞, +∞).

Range: The range of a function represents all the possible output values that the function can produce. In this case, since the function F(x) = x^4 - 1 is a polynomial function, its range is also all real numbers. Therefore, the range of F(x) is (-∞, +∞).

Symmetry: To determine the symmetry of the function, we need to check if it is symmetric with respect to the y-axis (even function) or the origin (odd function). For the function F(x) = x^4 - 1, it is neither even nor odd. Therefore, the function does not exhibit any symmetry.

Intercepts: To find the x-intercepts, we set F(x) = 0 and solve for x: x^4 - 1 = 0 x^4 = 1 Taking the fourth root of both sides, we get: x = ±1 So, the x-intercepts of the function F(x) = x^4 - 1 are x = -1 and x = 1.

To find the y-intercept, we substitute x = 0 into the function: F(0) = 0^4 - 1 = -1 Therefore, the y-intercept of the function F(x) = x^4 - 1 is y = -1.

Critical Points: To find the critical points of the function, we need to find the values of x where the derivative of F(x) is equal to zero or undefined. Taking the derivative of F(x) = x^4 - 1, we get: F'(x) = 4x^3

Setting F'(x) = 0, we find: 4x^3 = 0 x = 0

Therefore, the critical point of the function F(x) = x^4 - 1 is x = 0.

Conclusion:

In summary, the function F(x) = x^4 - 1 has the following properties: - Domain: (-∞, +∞) - Range: (-∞, +∞) - Symmetry: None - X-intercepts: x = -1 and x = 1 - Y-intercept: y = -1 - Critical Point: x = 0

Please let me know if there's anything else I can help you with!