Question

А) Докажите, что многочлен F(x)=x^n-a^n (n∈N) делится на многочлен (x-a), и найдите частное от деления.

Answer 1

Смотрите фото!!!!!!!!!!

Answer 2

Доказательство деления многочлена F(x) на многочлен (x-a)

Для доказательства деления многочлена F(x) на многочлен (x-a), мы можем использовать теорему о делении многочленов. Согласно этой теореме, если у нас есть два многочлена f(x) и g(x), где степень g(x) больше или равна степени f(x), то существуют многочлены q(x) и r(x), такие что f(x) = g(x) * q(x) + r(x), где r(x) - это остаток от деления.

В данном случае, у нас есть многочлен F(x) = x^n - a^n и многочлен (x-a). Степень многочлена (x-a) равна 1, а степень многочлена F(x) равна n. Таким образом, степень многочлена (x-a) больше степени многочлена F(x).

Следовательно, мы можем применить теорему о делении многочленов и утверждать, что многочлен F(x) делится на многочлен (x-a).

Нахождение частного от деления

Чтобы найти частное от деления многочлена F(x) на (x-a), мы можем использовать алгоритм деления многочленов. Этот алгоритм позволяет нам поэтапно делить многочлен F(x) на (x-a) и получить частное.

1. Начнем с первого члена многочлена F(x), который является x^n. Разделим x^n на (x-a) и получим первый член частного, который будет x^(n-1).

2. Умножим полученный первый член частного на (x-a) и вычтем его из многочлена F(x). Это даст нам новый многочлен, который мы будем делить на (x-a).

3. Повторим шаги 1 и 2 для нового многочлена, полученного после вычитания первого члена частного. Продолжим деление до тех пор, пока степень нового многочлена не станет меньше степени (x-a).

4. Когда степень нового многочлена станет меньше степени (x-a), мы получим остаток от деления, который будет равен 0, так как (x-a) полностью делит многочлен F(x).

Таким образом, частное от деления многочлена F(x) на (x-a) будет представлять собой последовательность членов, начиная с x^(n-1) и заканчивая 0.

Пример: Пусть n = 3 и a = 2. Тогда многочлен F(x) = x^3 - 2^3 = x^3 - 8.

Мы можем разделить многочлен F(x) на (x-2) следующим образом:

       x^2 + 2x + 4
    ___________________
x - 2 | x^3 + 0x^2 + 0x - 8
       - (x^3 - 2x^2)
       _______________
               2x^2 + 0x
               - (2x^2 - 4x)
               ___________
                       4x - 8
                       - (4x - 8)
                       _______
                              0

Таким образом, частное от деления многочлена F(x) на (x-2) равно x^2 + 2x + 4.

Ответ: Многочлен F(x) = x^n - a^n делится на многочлен (x-a), и частное от деления равно x^(n-1) + a * x^(n-2) + a^2 * x^(n-3) + ... + a^(n-2) * x + a^(n-1).