Question

8. Докажите, что неравенство (a +3)(a-5)=(a-7)(a+5) верно прилюбых значениях а.​

Answer 1

Что ж, во-первых раскроем скобки:

(a +3)(a-5)=(a-7)(a+5)

a^2-a+3a-15=a^2+5a-7a-35

Затем приведем подобные члены

-2a-15=-2a-35

Переносим -2а в левую часть, получаем -2а+2а=0, следовательно получаем:

-15=-35

Уравнение не имеет корней, следовательно данное неравенство верно при любых значениях а.

ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, начнем с раскрытия скобок в обеих частях и сравнения полученных выражений:

Левая часть неравенства: \((a + 3)(a - 5) = a^2 - 5a + 3a - 15 = a^2 - 2a - 15\).

Правая часть неравенства: \((a - 7)(a + 5) = a^2 + 5a - 7a - 35 = a^2 - 2a - 35\).

Теперь сравним полученные выражения:

\(a^2 - 2a - 15\) (левая часть) и \(a^2 - 2a - 35\) (правая часть).

Обратите внимание, что оба выражения имеют общий член \(a^2 - 2a\). Разница между ними заключается только в постоянных членах: -15 в левой части и -35 в правой части.

Для любого значения \(a\) (включая целые числа, дроби и отрицательные числа), постоянный член в правой части (\(-35\)) всегда меньше, чем постоянный член в левой части (\(-15\)). Таким образом, независимо от значения \(a\), левая часть неравенства всегда будет больше, чем правая часть. Следовательно, неравенство \((a + 3)(a - 5) \geq (a - 7)(a + 5)\) верно для любых значений \(a\).