Question

Найти все корни уравнения cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0, удовлетворяющие неравенству tgx>0.

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0$, ОДЗ: $x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi.\;m\in Z$

Попробуем решить это уравнение относительно тангенса:

$cosx + (1 + cos x)tg^2x-1=0\\(1 + cos x)tg^2x+(cosx-1)=0\\D=0-4(cosx-1)(1+cosx)=4(1-cosx)(1+cosx)=4(1-cos^2x)=\\=4sin^2x\\\sqrt{D}=2sinx$

Тогда получили два случая:

$tgx=\dfrac{sinx}{1+cosx}$ или $tgx=-\dfrac{sinx}{1+cosx}$

Применив формулу для тангенса половинного угла, получим:

$tgx=tg\dfrac{x}{2}$ или $tgx=-tg\dfrac{x}{2}$

Применив формулы суммы и разности тангенсов и выполнив очевидные преобразования, получим:

$sin\dfrac{x}{2}=0$ или $sin\dfrac{3x}{2}=0$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1) $sin\dfrac{x}{2}=0,\;=>\;x=2n\pi,\;n\in Z$

2) $sin\dfrac{3x}{2}=0,\;=>\;x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Окончательное решение уравнения с учетом ОДЗ:

$x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Найдем теперь корни уравнения, которые удовлетворяют неравенству $tgx>0$:

$x=\dfrac{4\pi}{3}+2l\pi,\;l\in Z$

Задание выполнено!

Комментарий:

Замечу, что исходное уравнение можно упростить до вида:

$2cos^2x-cosx-1=0$

Откуда хорошо видно, что его корень:

$x=\dfrac{2k\pi}{3},\;k\in Z$

Такое решение также является допустимым.

Answer 2

Для нахождения всех корней уравнения и удовлетворяющих неравенству, давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности.

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

cos(x)(1 + cos(x))tan^2(x) - 1 = 0

Давайте начнем с нахождения корней этого уравнения. Для этого давайте введем новую переменную, например, t = tan(x), чтобы упростить уравнение:

cos(x)(1 + cos(x))t^2 - 1 = 0

Теперь давайте рассмотрим это уравнение как квадратное относительно переменной t:

cos(x)(1 + cos(x))t^2 - 1 = 0

Теперь мы можем использовать дискриминантное правило для квадратных уравнений:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

где a = cos(x)(1 + cos(x)), b = 0 и c = -1. Таким образом, дискриминант равен:

D = 0 - 4(cos(x)(1 + cos(x))(-1)) = 4cos(x)(1 + cos(x))

Теперь мы можем рассмотреть значения cos(x). У нас есть условие, что tg(x) > 0. Так как tg(x) = sin(x)/cos(x), то sin(x) и cos(x) должны иметь одинаковый знак. Поскольку cos(x) находится в знаменателе, то он не может равняться нулю. Таким образом, cos(x) должен быть положительным или отрицательным.

Пусть cos(x) > 0. В этом случае sin(x) также будет положительным. Таким образом, оба множителя cos(x) и (1 + cos(x)) будут положительными, и дискриминант D будет положительным. Это означает, что у нас есть два корня t, которые удовлетворяют уравнению, когда cos(x) > 0.

Теперь пусть cos(x) < 0. В этом случае sin(x) будет отрицательным. Таким образом, оба множителя cos(x) и (1 + cos(x)) будут отрицательными, и дискриминант D также будет положительным. Это также означает, что у нас есть два корня t, которые удовлетворяют уравнению, когда cos(x) < 0.

Таким образом, уравнение имеет четыре корня t, когда tg(x) > 0.

Теперь мы можем найти значения x, удовлетворяющие этим корням t, используя обратную зависимость между t и x, которая определяется как t = tan(x). Таким образом, x = arctan(t).

Итак, у нас есть четыре значения x, которые удовлетворяют уравнению cos(x)(1 + cos(x))tan^2(x) - 1 = 0 и неравенству tg(x) > 0, и они определяются как:

1. x = arctan(t1), где t1 - первый корень t при cos(x) > 0. 2. x = arctan(t2), где t2 - второй корень t при cos(x) > 0. 3. x = arctan(t3), где t3 - первый корень t при cos(x) < 0. 4. x = arctan(t4), где t4 - второй корень t при cos(x) < 0.

Эти значения x удовлетворяют заданному уравнению и неравенству.