Question

Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если сумма второго и восьмого членов прогрессии равна 19, а произведение седьмого и третьего равно 48. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО НУЖНО!!!!

Answer 1

По условию:

$\begin{cases} a_2+a_8=19\\ a_7a_3=48 \end{cases}$

Распишем через первый член и разность:

$\begin{cases} (a_1+d)+(a_1+7d)=19\\ (a_1+6d)(a_1+2d)=48 \end{cases}$

$\begin{cases} 2a_1+8d=19\\ a_1^2+8a_1d+12d^2=48 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим первый член:

$2a_1=19-8d$

$a_1=9.5-4d$

Подставим во второе уравнение соотношение для первого члена:

$(9.5-4d)^2+8d(9.5-4d)+12d^2=48$

$90.25-76d+16d^2+76d-32d^2+12d^2=48$

$90.25-4d^2=48$

$4d^2=42.25$

$d^2=10.5625$

$d=\pm3.25$

Найдем соответствующие значения первого члена:

$d=3.25:\ a_1=9.5-4\cdot3.25=-3.5$

$d=-3.25:\ a_1=9.5-4\cdot(-3.25)=22.5$

Запишем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$

Сумма первых 5 членов арифметической прогрессии:

$S_5=\dfrac{2a_1+4d}{2}\cdot 5=5(a_1+2d)$

Подставим найденные значения первого члена и разности.

1. При $a_1=-3.5;\ d=3.25$:

$S_5=5(-3.5+2\cdot3.25)=\boxed{15}$

2. При $a_1=22.5;\ d=-3.25$:

$S_5=5(22.5+2\cdot(-3.25))=\boxed{80}$

Ответ: 15 или 80

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться системой уравнений для арифметической прогрессии. Первым шагом нам нужно найти две величины: разность (d) между членами прогрессии и первый член (a1).

Для нахождения разности (d) используем информацию о втором и восьмом членах: a2 = a1 + d, a8 = a1 + 7d.

Известно, что a2 + a8 = 19, поэтому:

(a1 + d) + (a1 + 7d) = 19.

Теперь найдем произведение седьмого и третьего членов прогрессии:

a3 = a1 + 2d, a7 = a1 + 6d.

a3 * a7 = 48.

(a1 + 2d) * (a1 + 6d) = 48.

У нас есть две системы уравнений:

1. a1 + d + a1 + 7d = 19, 2. (a1 + 2d) * (a1 + 6d) = 48.

Давайте решим эту систему. Сначала рассмотрим уравнение (1):

2a1 + 8d = 19.

Теперь выразим a1 через d:

a1 = (19 - 8d) / 2.

Теперь подставим это выражение во второе уравнение (2):

((19 - 8d) / 2 + 2d) * ((19 - 8d) / 2 + 6d) = 48.

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дробей:

(19 - 8d + 8d) * (19 - 8d + 24d) = 192.

19 * (19 + 16d) = 192.

Отсюда мы можем найти значение d:

19 * (19 + 16d) = 192, 19 + 16d = 192 / 19, 16d = 192 / 19 - 19, 16d = (192 - 19 * 19) / 19, 16d = (192 - 361) / 19, 16d = -169 / 19, d = -169 / (19 * 16), d = -169 / 304.

Теперь мы знаем значение разности (d). Чтобы найти первый член a1, подставим значение d в одно из уравнений:

a1 = (19 - 8d) / 2, a1 = (19 - 8 * (-169 / 304)) / 2, a1 = (19 + 1352 / 304) / 2, a1 = (19 + 676 / 152) / 2, a1 = (19 + 169 / 38) / 2, a1 = (731 / 38) / 2, a1 = 731 / (38 * 2), a1 = 731 / 76.

Теперь у нас есть значение первого члена a1 и разности d. Теперь мы можем найти сумму первых пяти членов арифметической прогрессии. Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

S_n = (n/2) * [2a1 + (n-1)d].

В данном случае n = 5:

S_5 = (5/2) * [2 * (731/76) + (5-1) * (-169/304)].

S_5 = (5/2) * [(731/38) - (4 * 169/304)].

S_5 = (5/2) * [(731/38) - (676/304)].

S_5 = (5/2) * [(731/38) - (169/76)].

S_5 = (5/2) * [(731/38) - (338/76)].

S_5 = (5/2) * [(731/38) - (169/38)].

S_5 = (5/2) * (562/38).

S_5 = (5/2) * (281/19).

S_5 = (5 * 281) / (2 * 19).

S_5 = 1405/38.

Таким образом, сумма первых пяти членов арифметической прогрессии равна 1405/38.