Question

Доказать тождество sin x - sin 2x - sin 4x +sin 5x \ cos x -cos 2x - cos 4x +cos 5x=tg 3x

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы воспользуемся формулами сложения и вычитания функций синуса и косинуса.

Для начала, раскроем все функции на слагаемые:

sin x = sin(3x - 2x) = sin(3x)cos(2x) - cos(3x)sin(2x)

sin 2x = 2sin(x)cos(x)

sin 4x = 2sin(2x)cos(2x) = 2(2sin(x)cos(x))(2cos^2(x)-1) = 4sin(x)cos^3(x) - 2sin(x)cos(x)

sin 5x = sin(4x + x) = sin(4x)cos(x) + cos(4x)sin(x) = (4sin(x)cos^3(x) - 2sin(x)cos(x))cos(x) + (1 - 8sin^2(x)cos^2(x))sin(x) = 4sin(x)cos^4(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x) - 8sin^3(x)cos^2(x)

cos x = cos(3x - 2x) = cos(3x)cos(2x) + sin(3x)sin(2x)

cos 2x = cos^2(x) - sin^2(x)

cos 4x = 2cos^2(2x) - 1 = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1 = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1

cos 5x = cos(4x + x) = cos(4x)cos(x) - sin(4x)sin(x) = (8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1)cos(x) - (4sin(x)cos^3(x) - 2sin(x)cos(x))sin(x) = 8cos^5(x) - 8cos^3(x)cos(x) + cos(x) - 4sin(x)cos^3(x)sin(x) + 2sin^2(x)cos(x)

Теперь сложим все слагаемые и упростим выражение:

sin x - sin 2x - sin 4x + sin 5x + cos x - cos 2x - cos 4x + cos 5x = (sin(3x)cos(2x) - cos(3x)sin(2x)) - 2sin(x)cos(x) - (4sin(x)cos^3(x) - 2sin(x)cos(x)) + (4sin(x)cos^4(x) - 2sin(x)cos^2(x) + sin(x) - 8sin^3(x)cos^2(x)) + (cos(3x)cos(2x) + sin(3x)sin(2x)) - (cos^2(x) - sin^2(x)) - (8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1) + (8cos^5(x) - 8cos^3(x)cos(x) + cos(x) - 4sin(x)cos^3(x)sin(x) + 2sin^2(x)cos(x))

Многие слагаемые в этом выражении сокращаются и упрощаются, а остальные можно преобразовать:

sin(3x)cos(2x) - cos(3x)sin(2x) = sin(3x + 2x) = sin 5x 2sin(x)cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0 4sin(x)cos^4(x) - 4sin(x)cos^2(x) + 4sin(x)cos^4(x) = 8sin(x)cos^4(x) - 4sin(x)cos^2(x) + sin(x) - sin(x) = 4sin(x)cos^4(x) - 4sin(x)cos^2(x) cos(3x)cos(2x) + sin(3x)sin(2x) = cos(3x + 2x) = cos 5x cos^2(x) - sin^2(x) = cos^2(x) - (1 - cos^2(x)) = 2cos^2(x) - 1 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1 = (2cos^2(x) - 1)^2 + 1 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1 + 1 = 4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 2

Подставим обратно упрощенные выражения и упорядочим слагаемые:

sin 5x - 4sin(x)cos^4(x) + 4sin(x)cos^2(x) + cos 5x - 2cos^2(x) + 2 + 8sin(x)cos^4(x) - 4sin(x)cos^2(x) = sin 5x + cos 5x - 2cos^2(x) + 2

Нам осталось доказать, что полученное выражение равно tg 3x. Достаточно показать, что произведение sin(5x + pi/2) + cos(5x + pi/2) равно cos(2x) (из-за определения тангенса).

sin(5x + pi/2) + cos(5x + pi/2) = sin(5x)cos(pi/2) + cos(5x)sin(pi/2) + cos(5x)cos(pi/2) - sin(5x)sin(pi/2) = sin(5x) + cos(5x) + cos(5x) - sin(5x) = 2cos(5x) = cos(2x)

Таким образом, мы доказали, что исходное тождество sin x - sin 2x - sin 4x + sin 5x + cos x - cos 2x - cos 4x + cos 5x = tg 3x верно.