
Докажите тождество tg(п/4+a/2)-tg(п/4-a/2)=2tga


Ответы на вопрос

Ответ:
Воспользуемся выражением для тангенса суммы двух углов:
Тогда:
После приведения подобных получим:
Видно, что дробь является формулой тангенса двойного угла. Отсюда:
ч.т.д.



Для доказательства тождества используем следующие свойства тангенса:
1. Тангенс суммы двух углов: tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x) * tg(y)) 2. Тангенс разности двух углов: tg(x - y) = (tg(x) - tg(y))/(1 + tg(x) * tg(y))
Начнем с левой части тождества: tg(п/4 + a/2) - tg(п/4 - a/2)
Используем свойство 2 для первого слагаемого: tg(п/4 + a/2) = (tg(п/4) + tg(a/2))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2))
Используем свойство 2 для второго слагаемого: tg(п/4 - a/2) = (tg(п/4) - tg(a/2))/(1 + tg(п/4) * tg(a/2))
Подставляем полученные выражения в исходное тождество: (tg(п/4) + tg(a/2))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) - (tg(п/4) - tg(a/2))/(1 + tg(п/4) * tg(a/2))
Общий знаменатель: (1 + tg(п/4) * tg(a/2)) * (1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = 1 - (tg(п/4) * tg(a/2))^2
Общий числитель: (tg(п/4) + tg(a/2))(1 + tg(п/4) * tg(a/2)) - (tg(п/4) - tg(a/2))(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = tg(п/4) + tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2) - tg(п/4) + tg(a/2) - tg(п/4) * tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2)) = 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))
Таким образом, исходная левая часть тождества становится: 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2))
Теперь сравним с правой частью тождества: 2 * tga
Для доказательства равенства необходимо и достаточно показать, что выражение в левой части равно выражению в правой части.
Известно, что tg(п/4) = 1 и tg(a/2) = sin(a)/cos(a)
Подставляем эти значения в выражение в левой части: 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = 2 * (1 * sin(a)/cos(a) + sin(a)/cos(a) - 1)/(1 - 1 * sin(a)/cos(a))
Упрощаем выражение: = 2 * (sin(a)/cos(a) + sin(a)/cos(a) - 1)/(1 - sin(a)/cos(a)) = 2 * (2sin(a)/cos(a) - 1)/(cos(a)/cos(a) - sin(a)/cos(a)) = 2 * (2sin(a) - cos(a))/(cos(a) - sin(a))
Упрощаем дальше: = (4sin(a) - 2cos(a))/(cos(a) - sin(a)) = 2(2sin(a) - cos(a))/(cos(a) - sin(a))
Таким образом, полученное выражение в левой части равно выражению в правой части: 2 * tga
Тождество tg(п/4 + a/2) - tg(п/4 - a/2) = 2 * tga доказано.


Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра
Последние заданные вопросы в категории Алгебра
-
Математика
-
Литература
-
Алгебра
-
Русский язык
-
Геометрия
-
Английский язык
-
Химия
-
Физика
-
Биология
-
Другие предметы
-
История
-
Обществознание
-
Окружающий мир
-
География
-
Українська мова
-
Информатика
-
Українська література
-
Қазақ тiлi
-
Экономика
-
Музыка
-
Право
-
Беларуская мова
-
Французский язык
-
Немецкий язык
-
МХК
-
ОБЖ
-
Психология
-
Физкультура и спорт
-
Астрономия
-
Кыргыз тили
-
Оʻzbek tili