Вопрос задан 02.11.2023 в 04:42. Предмет Алгебра. Спрашивает Аванесова Элина.

Докажите тождество tg(п/4+a/2)-tg(п/4-a/2)=2tga

0 0
Перейти к ответам

Ответы на вопрос

Внимание! Ответы на вопросы дают живые люди. Они могут содержать ошибочную информацию, заблуждения, а также ответы могут быть сгенерированы нейросетями. Будьте внимательны. Если вы уверены, что ответ неверный, нажмите кнопку "Пожаловаться" под ответом.
Отвечает Емельянова Аня.

Ответ:

Воспользуемся выражением для тангенса суммы двух углов:

tg(\alpha+\beta)=\frac{tg(\alpha)+tg(\beta)}{1-tg(\alpha)\cdot tg(\beta)}

Тогда:

tg(\frac{\pi}{4}+\frac{a}{2})=\frac{tg(\frac{\pi}{4} )+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{\pi}{4} )\cdot tg(\frac{a}{2} )}=\frac{1+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{a}{2})}

tg(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2})=\frac{tg(\frac{\pi}{4} )-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{\pi}{4} )\cdot tg(\frac{a}{2} )}=\frac{1-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{a}{2})}

\frac{1+tg(\frac{a}{2} )}{1-tg(\frac{a}{2})}-\frac{1-tg(\frac{a}{2} )}{1+tg(\frac{a}{2})}=\frac{(1+tg(\frac{a}{2}))^2-(1-tg(\frac{a}{2}))^2}{(1-tg(\frac{a}{2}))\cdot (1+tg(\frac{a}{2}))}=\frac{1+2tg(\frac{\alpha}{2})+tg^2(\frac{\alpha}{2} )-1+2tg(\frac{\alpha}{2})-tg^2(\frac{\alpha}{2} ) )}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2} )}

После приведения подобных получим:

2\cdot\frac{tg(\frac{\alpha}{2})+tg(\frac{\alpha}{2})}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2})}

Видно, что дробь является формулой тангенса двойного угла. Отсюда:

2\cdot\frac{tg(\frac{\alpha}{2})+tg(\frac{\alpha}{2})}{1-tg^2(\frac{\alpha}{2})}=2\cdot tg(\alpha)

ч.т.д.

0 0
Отвечает нейросеть ChatGpt. Будьте внимательны, ответы нейросети могут содержать ошибочные или выдуманные данные.

Для доказательства тождества используем следующие свойства тангенса:

1. Тангенс суммы двух углов: tg(x + y) = (tg(x) + tg(y))/(1 - tg(x) * tg(y)) 2. Тангенс разности двух углов: tg(x - y) = (tg(x) - tg(y))/(1 + tg(x) * tg(y))

Начнем с левой части тождества: tg(п/4 + a/2) - tg(п/4 - a/2)

Используем свойство 2 для первого слагаемого: tg(п/4 + a/2) = (tg(п/4) + tg(a/2))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2))

Используем свойство 2 для второго слагаемого: tg(п/4 - a/2) = (tg(п/4) - tg(a/2))/(1 + tg(п/4) * tg(a/2))

Подставляем полученные выражения в исходное тождество: (tg(п/4) + tg(a/2))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) - (tg(п/4) - tg(a/2))/(1 + tg(п/4) * tg(a/2))

Общий знаменатель: (1 + tg(п/4) * tg(a/2)) * (1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = 1 - (tg(п/4) * tg(a/2))^2

Общий числитель: (tg(п/4) + tg(a/2))(1 + tg(п/4) * tg(a/2)) - (tg(п/4) - tg(a/2))(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = tg(п/4) + tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2) - tg(п/4) + tg(a/2) - tg(п/4) * tg(a/2) + tg(п/4) * tg(a/2)) = 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))

Таким образом, исходная левая часть тождества становится: 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2))

Теперь сравним с правой частью тождества: 2 * tga

Для доказательства равенства необходимо и достаточно показать, что выражение в левой части равно выражению в правой части.

Известно, что tg(п/4) = 1 и tg(a/2) = sin(a)/cos(a)

Подставляем эти значения в выражение в левой части: 2 * (tg(п/4) * tg(a/2) + tg(a/2) - tg(п/4))/(1 - tg(п/4) * tg(a/2)) = 2 * (1 * sin(a)/cos(a) + sin(a)/cos(a) - 1)/(1 - 1 * sin(a)/cos(a))

Упрощаем выражение: = 2 * (sin(a)/cos(a) + sin(a)/cos(a) - 1)/(1 - sin(a)/cos(a)) = 2 * (2sin(a)/cos(a) - 1)/(cos(a)/cos(a) - sin(a)/cos(a)) = 2 * (2sin(a) - cos(a))/(cos(a) - sin(a))

Упрощаем дальше: = (4sin(a) - 2cos(a))/(cos(a) - sin(a)) = 2(2sin(a) - cos(a))/(cos(a) - sin(a))

Таким образом, полученное выражение в левой части равно выражению в правой части: 2 * tga

Тождество tg(п/4 + a/2) - tg(п/4 - a/2) = 2 * tga доказано.

0 0

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Алгебра

Последние заданные вопросы в категории Алгебра

Задать вопрос