Question

Найти промежуток f(x)=x⁴/4- 2x²

Answer 1

Ответ:

Все на фотке и все правильно

Answer 2

Для нахождения промежутка, на котором функция f(x) = x⁴/4 - 2x² возрастает или убывает, нужно проанализировать ее производную.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = (4x³)/4 - 4x = x³ - 4x

Затем найдем точки, где производная равна нулю: x³ - 4x = 0 x(x² - 4) = 0 x(x + 2)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем три точки: x = 0, x = -2 и x = 2.

Теперь построим таблицу знаков для производной f'(x) на основе найденных точек: x < -2: (-) * (-) - (-) = - + - - = - -2 < x < 0: (-) * (+) - (-) = - + + - = - 0 < x < 2: (+) * (+) - (-) = + + + - = - x > 2: (+) * (+) - (+) = + + + + = +

Из таблицы знаков видно, что производная f'(x) меняет знак с отрицательного на положительный при x > 2, что означает, что функция f(x) возрастает на промежутке (2, +∞).

Таким образом, промежуток возрастания функции f(x) = x⁴/4 - 2x² находится в интервале (2, +∞).

Answer 3

Для нахождения промежутка, где функция f(x) определена, установим условия существования функции: исключим деление на ноль и отсутствие комплексных чисел.

Функция f(x) = (x^4)/4 - 2x^2 определена при любом значении x, так как в данной функции отсутствуют какие-либо ограничения в знаменателе или под знаком квадратного корня.

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, найдем производную функции f'(x):

f'(x) = x^3 - 4x

Далее, найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует:

x^3 - 4x = 0

Общий делитель в данном уравнении - x:

x(x^2 - 4) = 0

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: x = 0 и x = ±2.

Теперь, для определения промежутков возрастания и убывания, построим таблицу знаков производной f'(x):

x < -2: f'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -9 + 12 = 3 > 0, то есть f'(x) > 0. -2 < x < 0: f'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0, то есть f'(x) > 0. 0 < x < 2: f'(1) = 1^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0, то есть f'(x) < 0. x > 2: f'(3) = 3^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0, то есть f'(x) > 0.

Таким образом, функция f(x) возрастает на промежутках x ∈ (-∞, -2) и x ∈ (0, 2), и убывает на промежутке x ∈ (-2, 0) и x ∈ (2, +∞).

Чтобы найти экстремумы функции, рассмотрим значения функции в найденных точках:

f(-2) = ((-2)^4)/4 - 2(-2)^2 = 16/4 - 2(4) = 4 - 8 = -4 f(0) = (0^4)/4 - 2(0)^2 = 0/4 - 0 = 0 f(2) = (2^4)/4 - 2(2)^2 = 16/4 - 8 = 4 - 8 = -4

Таким образом, получаем две точки ( -2, -4) и (2, -4), в которых функция имеет экстремумы.

Таким образом, значение функции f(x) = (x^4)/4 - 2x^2 равно -4 на экстремумах и она возрастает на промежутках x ∈ (-∞, -2) и x ∈ (0, 2), и убывает на промежутке x ∈ (-2, 0) и x ∈ (2, +∞).