Question

Решите тригонометрические уравнения: 1.cos^2x - 4sinx+ 3 =02.корень из 3 sin^2x - 3sinx cosx =0

Answer 1

По тр тождеству: 4-4sin^2-4sinx+3=0 -4sin^2x-4sinx+7=0 пусть sinx=а и т.д. во втором син за скобки

Answer 2

1. Решение уравнения cos^2x - 4sinx + 3 = 0: Заметим, что данное уравнение представляет квадратное уравнение относительно sinx. Проведем замену: t = sinx. Тогда уравнение принимает вид: cos^2x - 4sinx + 3 = 0 cos^2x - 4tx + 3 = 0 cos^2x = 4tx - 3

Так как cos^2x = 1 - sin^2x, то получаем: 1 - sin^2x = 4tx - 3 sin^2x + 4tx - 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся дискриминантом:

D = (4t)^2 - 4 * 1 * (-4) D = 16t^2 + 64

Тогда получим 3 случая:

1) D < 0: 16t^2 + 64 < 0 t^2 + 4 < 0

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат синуса не может быть отрицательным.

2) D = 0: 16t^2 + 64 = 0 16t^2 = -64

Данное уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат синуса не может быть отрицательным.

3) D > 0: 16t^2 + 64 > 0 t^2 + 4 > 0

Данное уравнение имеет действительные решения. Отбросим решение t = 0, так как это не является решением исходного уравнения (cos^2x ≠ 4sinx - 3).

Итак, уравнение cos^2x - 4sinx + 3 = 0 не имеет действительных решений.

2. Решение уравнения √3 sin^2x - 3sinx cosx = 0: Заметим, что данное уравнение представляет квадратное уравнение относительно sinx. Проведем замену: t = sinx. Тогда уравнение принимает вид: √3 sin^2x - 3sinx cosx = 0 √3 t^2 - 3t * √(1 - t^2) = 0 t * (√3 t - 3√(1 - t^2)) = 0

Так как t ≠ 0 (иначе sinx = 0, что невозможно), то получаем два случая:

1) (√3 t - 3√(1 - t^2)) = 0 √3 t = 3√(1 - t^2) 3t^2 = 9 - 3t^2 6t^2 = 9 t^2 = 9/6 t^2 = 3/2

Так как sinx = t, то получаем два решения: sinx = √(3/2) sinx = -√(3/2)

2) t = 0

Итак, уравнение √3 sin^2x - 3sinx cosx = 0 имеет два действительных решения: sinx = √(3/2) sinx = -√(3/2) и одно нулевое решение sinx = 0.