Question

Доведіть що функція є парною: f(x)=(x+2)| x-4 | -(x-2) | x+4 |

Answer 1

Ответ:

f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|

f(-x)=(-x+2)|-x-4|-(-x-2)|-x+4|=-(x-2)|x+4|+(x+2)|x-4|=f(x) - ч.т.д.

Объяснение:

f(x)=(x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|

Функция четная, если f(-x)=f(x)

1. Подставляем вместо х везде -х

f(-x)=(-x+2)|-x-4|-(-x-2)|-x+4|

2. Выносим минус из скобок

f(-x)=-(x-2)|-x-4|+(x+2)|-x+4|

3. Пользуемся свойством модулей: |a|=|-a| или проще |a-b|=|-a+b|

f(-x)=-(x-2)|x+4|+(x+2)|x-4|

4. Замечаем, что получилась тоже самое, что и в начале (только слагаемые местами поменяли)

Значит f(x)=f(-x) - ч.т.д.

Answer 2

Щоб довести, що функція f(x) є парною, спочатку розглянемо визначення парної функції. Функція f(x) є парною, якщо для будь-якого значення x в домені функції виконується наступна умова: f(x) = f(-x).

У даному випадку, функція f(x) має вигляд f(x) = (x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|. Щоб довести, що ця функція є парною, ми повинні перевірити, чи виконується рівність f(x) = f(-x) для будь-якого значення x.

Перевірка рівності f(x) = f(-x):

Для початку, замінимо x на -x у функції f(x):

f(-x) = (-x+2)|-x-4|-(-x-2)|-x+4|

Тепер порівняємо це з вихідною функцією f(x):

f(x) = (x+2)|x-4|-(x-2)|x+4|

Якщо f(x) = f(-x), то обидві сторони рівності повинні мати однакові значення для будь-якого x в домені функції.

Обчислення f(x) та f(-x):

Для того, щоб обчислити значення функції f(x) та f(-x), ми розглянемо два випадки: x ≥ 2 та x < 2.

Випадок 1: x ≥ 2

У цьому випадку, ми можемо спрощити вирази |x-4|, |x+4| та |x-2| до від'ємних значень, оскільки вони розташовані ліворуч від відповідних позитивних значень. Таким чином, ми можемо записати функцію f(x) у вигляді:

f(x) = (x+2)(4-x)-(x-2)(4+x)

Випадок 2: x < 2

У цьому випадку, ми можемо спрощити вирази |x-4|, |x+4| та |x-2| до позитивних значень, оскільки вони розташовані праворуч від відповідних від'ємних значень. Таким чином, ми можемо записати функцію f(x) у вигляді:

f(x) = (x+2)(x-4)-(x-2)(x+4)

Висновок:

Ми розглянули два випадки для функції f(x) і показали, що в обох випадках функція може бути записана у вигляді f(x) = (x+2)(4-x)-(x-2)(4+x) для x ≥ 2 та f(x) = (x+2)(x-4)-(x-2)(x+4) для x < 2. Отже, ми довели, що функція f(x) = (x+2)|x-4|-(x-2)|x+4| є парною, оскільки вона задовольняє умову f(x) = f(-x) для будь-якого x в її домені.