Question

Исследовать функцию y = x^3-4x^2+5x-1 на монотонность

Answer 1

Y=x^3-4x^2+5x-1
x є R

Answer 2

Для исследования монотонности функции \(y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1\), мы должны определить, как функция меняется с ростом \(x\). Монотонность функции может быть определена с помощью производных функции, а именно первой производной.

Давайте выполним следующие шаги:

1. Найдем первую производную функции \(y\). 2. Найдем критические точки, где первая производная равна нулю или не существует. 3. Определим интервалы, на которых первая производная положительна и интервалы, на которых она отрицательна. 4. Изучим знаки первой производной, чтобы определить монотонность функции \(y\).

1. Найдем первую производную \(y\):

\(y' = 3x^2 - 8x + 5\).

2. Теперь найдем критические точки, где \(y' = 0\):

\(3x^2 - 8x + 5 = 0\).

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант равен \(D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 64 - 60 = 4\).

Таким образом, у нас есть два корня:

\(x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 2}{6} = 2\),

\(x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 2}{6} = \frac{3}{2}\).

Это критические точки, где первая производная равна нулю.

3. Теперь определим интервалы, на которых \(y'\) положительна и отрицательна. Для этого можно взять тестовую точку в каждом из интервалов и определить знак \(y'\) в этой точке. Например:

- Для интервала \((-\infty, \frac{3}{2})\), возьмем \(x = 0\). Тогда \(y' = 3(0)^2 - 8(0) + 5 = 5\), что положительно. - Для интервала \((\frac{3}{2}, 2)\), возьмем \(x = 2\). Тогда \(y' = 3(2)^2 - 8(2) + 5 = 4\), что также положительно. - Для интервала \((2, +\infty)\), возьмем \(x = 3\). Тогда \(y' = 3(3)^2 - 8(3) + 5 = -4\), что отрицательно.

Таким образом, первая производная положительна на интервалах \((-\infty, \frac{3}{2})\) и \((\frac{3}{2}, 2)\), и отрицательна на интервале \((2, +\inфтy)\).

4. Из знаков первой производной мы можем сделать следующие выводы о монотонности функции \(y\):

- На интервале \((-\infty, \frac{3}{2})\) функция \(y\) возрастает. - На интервале \((\frac{3}{2}, 2)\) функция \(y\) также возрастает. - На интервале \((2, +\inфтy)\) функция \(y\) убывает.

Таким образом, функция \(y = x^3 - 4x^2 + 5x - 1\) монотонно возрастает на интервалах \((-\infty, \frac{3}{2})\) и \((\frac{3}{2}, 2)\), и монотонно убывает на интервале \((2, +\inфтy)\).