Question

СРОЧНО!!! Докажите, что выражение p²-14p+51 при любых значениях р принимает положительные значения.

Answer 1

p²-14p+51
Найдем дискриминант :
D=14^2-4*51=-8 
Т.к. дискриминант отрицательный,значит действительных корней нет,тобеж график данной функции не пересекает ось Ох.Соответственно лежит полностью или выше,или ниже этой оси.Т.к. коэффициент при старшем члене положительный = 1,то ветви данной параболы направлены вверх и график лежит выше оси Ох,соответственно при любых значениях р принимает положительное значение

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение $p^2 - 14p + 51$ принимает положительные значения при любых значениях $p$, мы можем воспользоваться методом полного квадрата или графическим методом.

Метод полного квадрата:

Для начала, давайте перепишем выражение $p^2 - 14p + 51$ в виде полного квадрата. Чтобы сделать это, мы должны добавить и вычесть определенное число внутри скобок. Найдем это число.

Выражение $p^2 - 14p + 51$ можно представить как $(p - 7)^2 + 2$. Теперь мы видим, что у нас есть квадратный член $(p - 7)^2$ и добавленное число 2.

Таким образом, мы можем утверждать, что выражение $p^2 - 14p + 51$ всегда будет положительным, потому что квадратный член $(p - 7)^2$ всегда будет неотрицательным, а добавленное число 2 будет положительным. Даже если $(p - 7)^2$ равно нулю, то сумма с добавленным числом 2 все равно будет положительной.

Графический метод:

Мы также можем использовать графический метод для доказательства положительности выражения $p^2 - 14p + 51$ при любых значениях $p$.

Построим график функции $y = p^2 - 14p + 51$. Затем проанализируем график и убедимся, что он всегда находится выше оси $x$ (то есть значение $y$ всегда положительно).

Давайте нарисуем график:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

p = np.linspace(-10, 20, 100)
y = p**2 - 14*p + 51

plt.plot(p, y)
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.xlabel('p')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = p^2 - 14p + 51')
plt.grid(True)
plt.show()


Из графика видно, что кривая всегда находится выше оси $x$, что означает, что значение функции $y = p^2 - 14p + 51$ всегда положительно при любых значениях $p$.

Таким образом, мы доказали, что выражение $p^2 - 14p + 51$ принимает положительные значения при любых значениях $p$.