Question

Упростите выражение sin^2(t)+ctg^2(t)+cos^2(t)

Answer 1

Объяснение:

$sin^2t+ctg^2t+cos^2t=1+ctg^2t=\frac{1}{sin^2}$

Answer 2

$\sin^2t+ctg^2t+\cos^2t=(\sin^2t+\cos^2t)+ctg^2t=1+ctg^2t=\\\\=1+\frac{\cos^2t}{\sin^2t}=\frac{\sin^2t+\cos^2t}{\sin^2t}=\frac1{\sin^2t}$

Answer 3

Для упрощения выражения sin^2(t) + ctg^2(t) + cos^2(t) можно воспользоваться следующими тригонометрическими формулами:

- sin^2(t) + cos^2(t) = 1 - ctg(t) = cos(t) / sin(t) - ctg^2(t) = cos^2(t) / sin^2(t)

Подставляя эти формулы в исходное выражение, получаем:

sin^2(t) + ctg^2(t) + cos^2(t) = sin^2(t) + cos^2(t) / sin^2(t) + cos^2(t) = (sin^4(t) + cos^4(t) + 2*sin^2(t)*cos^2(t)) / sin^2(t) = (sin^4(t) + cos^4(t) + sin^2(2*t)) / sin^2(t)

Далее, можно применить формулу для разности квадратов:

a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)*(a^2 + b^2)

Тогда получим:

sin^4(t) + cos^4(t) = (sin^2(t) - cos^2(t))*(sin^2(t) + cos^2(t)) + 2*sin^2(t)*cos^2(t) = (sin(2*t))^2 - (cos(2*t))^2 + 1

Подставляя это в исходное выражение, получаем:

sin^4(t) + cos^4(t) + sin(2*t)^2 / sin(2*t) = ((sin(2*t))^2 - (cos(2*t))^2 + 1 + sin(2*t)^2) / sin(2*t) = (1 - (cos(4*t))^2 + 1) / sin(2*t) = 1/sin(2*t)

Итак, мы упростили выражение до следующего вида:

sin^2(t) + ctg^2(t) + cos^2(t) = 1/sin(2*t)

Надеюсь, это было полезно.