Question

Докажите , что число вида 8n+7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел

Answer 1

Найдем какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 8 , пусть n = t² и t = 2k (чётно ) , тогда  n = 4k²  , если  4k² = 8m +r ,  то r = 4k² - 8m ⇒ r-кратно 4 ⇒ r = 0 или r = 4  , если  n = 2k +1 ( нечётно) ,то   n = 4k² +4k +1 = 4k(k+1) +1 , одно из чисел к или к+1 четно ⇒  4k(k+1) кратно 8  ⇒    n = 8p +1 ⇒ остаток при делении n  на 8 равен 1  ⇒ квадрат натурального числа при делении на 8 может дать в остатке  0 , 1  или 4  ⇒ если  а  , b , c - квадраты целых чисел ,то каждое из них имеет вид : 8m , 8n+1 или 8l +4     осталось доказать , что если сложить  3 числа этого типа ( необязательно с разными остатками ) , то никогда не получим число  вида  8n +7  , предположим , что это возможно , так как число 8n +7 нечетно ,то в эту сумму должно войти число вида 8n +1  один или 3 раза подряд , но если  сложить 3 числа этого типа , то получим число вида :    z = 8q+3  ( остаток не равен 7 ) , а если число  вида 8n +1 входит в сумму один раз , то сумма остальных (четных) чисел должна быть равной 8s +6 ,   но это число не кратно 4 , а сумма чисел вида 8m и 8l+4  кратна 4 ⇒ и это невозможно , что и доказывает утверждение

Answer 2

Для того чтобы доказать, что число вида 8n + 7 не может быть суммой квадратов трех целых чисел, можно воспользоваться методом анализа остатков (modular arithmetic) и свойствами квадратов целых чисел.

Рассмотрим число 8n + 7. Сначала заметим, что квадрат любого целого числа имеет вид 4k или 4k + 1, где k - некоторое целое число. То есть, квадраты целых чисел либо делятся на 4, либо дают остаток 1 при делении на 4. Это следует из того, что для любого целого числа x, x может быть либо четным (тогда x = 2m для некоторого целого m), либо нечетным (тогда x = 2m + 1 для некоторого целого m), и в каждом из этих случаев квадрат x^2 будет иметь соответствующий остаток при делении на 4.

Теперь давайте рассмотрим число 8n + 7. Мы видим, что оно всегда дает остаток 7 при делении на 8. Однако ни один из возможных квадратов (4k и 4k + 1) не дает остаток 7 при делении на 8. Это означает, что невозможно представить число 8n + 7 в виде суммы квадратов трех целых чисел.

Мы можем формализовать это, предположим, что мы хотим представить 8n + 7 в виде суммы квадратов a^2 + b^2 + c^2. В этом случае, a^2 + b^2 + c^2 должно быть эквивалентно 7 (mod 8). Однако, как мы установили ранее, квадраты целых чисел дают остаток 0 или 1 при делении на 4, а это значит, что их сумма может давать только остатки 0, 1, 2 или 3 при делении на 8, но никак не 7.

Итак, мы доказали, что число вида 8n + 7 не может быть представлено в виде суммы квадратов трех целых чисел.