Question

Найдите корни уравнения:х^5=-43;х^8=15.Желательно с объяснением! ​

Answer 1

$1)\ \ \ x^5=-43\ \ \ \to \ \ \ \ x=-\sqrt[5]{43}\\\\\\2)\ \ \ x^8=15\ \ \ \to \ \ \ x^8-15=0\ \ ,\ \ (x^4-\sqrt{15})(x^4+\sqrt{15})=0\ ,\\\\(x^2-\sqrt[4]{15})(x^2+\sqrt[4]{15})(x^4+\sqrt{15})=0\ ,\\\\(x-\sqrt[8]{15})(x+\sqrt[8]{15})(x^2+\sqrt[4]{15})(x^4+\sqrt{15})=0\ \ ,\\\\x_1=-\sqrt[8]{15}\ \ ,\ \ x_2=\sqrt[8]{15}\\\\P.S.\ \ (x^2+\sqrt[4]{15})\ne 0\ \ ,\ \ x^4+\sqrt{15}\ne 0$

Answer 2

1.x=(-43)¹/⁵

или корень пятой степени из -43 равно минус корень пятой степени из 43

Корень один, т.к. степень нечетная.

2.IxI=±15¹/⁸ или плюс минус корень восьмой степени из 15, здесь два корня, т.к. степень четная.

Answer 3

Конечно, давайте решим оба уравнения.

1. Уравнение: \(x^5 = -43\).

Чтобы найти корни этого уравнения, нам нужно извлечь пятое корень из -43. Пятым корнем называется число, которое при возведении в пятую степень дает -43. Это несомненно будет комплексное число, так как нет действительного числа, которое при возведении в любую четную степень будет отрицательным.

Теперь, обозначим комплексное число в виде \(x = r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)\), где \(r\) - модуль числа, \(\theta\) - аргумент числа, \(i\) - мнимая единица (\(i^2 = -1\)). Подставим это выражение в уравнение:

\[r^5 \cdot (\cos 5\theta + i \sin 5\theta) = -43\]

Теперь сравниваем модули и аргументы с обеих сторон уравнения:

1. Модули: \(r^5 = 43 \Rightarrow r = 43^{1/5}\). 2. Аргументы: \(5\theta = \pi + 2\pi k\), где \(k\) - целое число (потому что синус и косинус имеют период 2π).

Это дает нам пять различных значения \(\theta\):

\[\theta_1 = \frac{\pi}{5}, \quad \theta_2 = \frac{3\pi}{5}, \quad \theta_3 = \pi, \quad \theta_4 = \frac{7\pi}{5}, \quad \theta_5 = \frac{9\pi}{5}\]

Таким образом, у нас есть пять различных комплексных корней:

\[x_k = 43^{1/5} \cdot (\cos \theta_k + i \sin \theta_k), \quad k = 1, 2, 3, 4, 5\]

2. Уравнение: \(x^8 = 15\).

Аналогично, нам нужно найти восьмой корень из 15. Поскольку восьмая степень числа не может быть отрицательной, у этого уравнения будет как минимум один действительный корень. Однако, так как 15 не является полным квадратом, не будет действительного числа, которое при возведении в четвертую степень даст 15.

Мы можем использовать тот же подход, что и в предыдущем случае, используя комплексные числа. Обозначим \(x = r \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)\) и подставим в уравнение:

\[r^8 \cdot (\cos 8\theta + i \sin 8\theta) = 15\]

Снова сравниваем модули и аргументы:

1. Модули: \(r^8 = 15 \Rightarrow r = 15^{1/8}\). 2. Аргументы: \(8\theta = 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Это дает нам восемь различных значений \(\theta\):

\[\theta_k = \frac{\pi k}{4}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 7\]

Таким образом, у нас есть восемь различных комплексных корней:

\[x_k = 15^{1/8} \cdot (\cos \theta_k + i \sin \theta_k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots, 7\]

Эти корни представляют собой все возможные значения \(x\), удовлетворяющие уравнениям.