Question

| x-1-x^2|≤|x^2-3x+4|​

Answer 1

Заданное неравенство равносильно следующему

$(x-1-x^2)^2\leq(x^2-3x+4)^2 \\ (x-1-x^2-x^2+3x-4)(x-1-x^2+x^2-3x+4)\leq 0\\ (2x^2-4x+5)(2x-3)\leq0$

Поскольку $2x^2-4x+5=2(x-1)^2+3>0$, то последнее неравенство запишется следующим образом

$2x-3\leq0\\ x\leq1{,}5$

Решение искомого неравенства $x \in (-\infty;1{,}5].$

Answer 2

$\left | x-1-x^2 \right |\leq \left | x^2-3x+4 \right |\\\underbrace{\left ( 2x^2-4x+5 \right )}_{>0}\left ( 3-2x \right )\geq 0\\3-2x\geq 0\Rightarrow x\leq \frac{3}{2}$

Answer 3

Давайте рассмотрим данное неравенство более подробно. У нас есть неравенство с модулями, и мы хотим найти значения x, которые удовлетворяют этому неравенству. Исходное неравенство: |x - 1 - x^2| ≤ |x^2 - 3x + 4| Чтобы решить это неравенство, разберемся с обоими модулями по отдельности. 1. Рассмотрим модуль на левой стороне неравенства: |x - 1 - x^2| 2. Рассмотрим модуль на правой стороне неравенства: |x^2 - 3x + 4| Мы будем рассматривать случаи, когда аргументы модулей положительные и отрицательные, так как модуль числа всегда неотрицателен. **Случай 1: x - 1 - x^2 ≥ 0 и x^2 - 3x + 4 ≥ 0** 1.1. Рассмотрим x - 1 - x^2 ≥ 0: x - 1 - x^2 ≥ 0 ⇒ -x^2 - x + 1 ≤ 0 Теперь решим это квадратное неравенство. Мы можем использовать график функции y = -x^2 - x + 1, чтобы понять, где она меньше или равна нулю. Парабола y = -x^2 - x + 1 открывается вниз, и ее вершина находится в точке (1/2, 3/4). Это означает, что функция отрицательна в интервале (-бесконечность, 1/2) и (3/2, +бесконечность). Мы интересуемся случаем, когда функция неотрицательна, так что нам нужен интервал [1/2, 3/2]. 1.2. Рассмотрим x^2 - 3x + 4 ≥ 0: Давайте решим это неравенство с использованием метода дискриминанта. Дискриминант D = b^2 - 4ac: D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 Поскольку D отрицателен, у нас нет действительных корней. Значит, квадратное уравнение x^2 - 3x + 4 = 0 не имеет корней, и, следовательно, оно не меняет знак внутри какого-либо интервала. Таким образом, оно всегда положительно. **Случай 2: x - 1 - x^2 < 0 и x^2 - 3x + 4 ≥ 0** 2.1. Рассмотрим x - 1 - x^2 < 0: x - 1 - x^2 < 0 ⇒ -x^2 - x + 1 > 0 Мы рассматривали это неравенство ранее и нашли интервал [1/2, 3/2], где оно выполняется. 2.2. Рассмотрим x^2 - 3x + 4 ≥ 0: Мы уже выяснили, что это неравенство всегда положительно. **Теперь объединим оба случая:** 1. (x - 1 - x^2 ≥ 0) и (x^2 - 3x + 4 ≥ 0) ⇒ x находится в интервале [1/2, 3/2] и x^2 - 3x + 4 всегда положительно. 2. (x - 1 - x^2 < 0) и (x^2 - 3x + 4 ≥ 0) ⇒ x находится в интервале (-бесконечность, 1/2) и (3/2, +бесконечность), и x^2 - 3x + 4 всегда положительно. Таким образом, неравенство |x - 1 - x^2| ≤ |x^2 - 3x + 4| выполняется в интервалах [1/2, 3/2] и (-бесконечность, 1/2) и (3/2, +бесконечность).