Question

Можно ли перенумеровать рёбра куба числами от 1 до 12 каждое ребро своим числом так, чтобы сумма номеров любых трёх рёбер, сходящихся в одной вершине, делилось на 3?

Answer 1

Да, можно.

Среди чисел от 1 до 12 есть 4 числа, которые делятся на 3 с остатком 0, 4 - с остатком 1, 4 - с остатком 2.

Для удобства будем считать, что куб расположен в координатном пространстве, все ребра параллельны одной из трех координатных осей.

Тогда достаточно расположить числа, делящиеся на 3 с остатком 0 на ребрах, параллельных оси X, с остатком 1 - параллельно Y, с остатком 2 - параллельно Z.

В каждой вершине сходятся три ребра, параллельные разным осям. Тогда остаток от деления на 3 суммы чисел для каждой вершины будет равен 0 + 1 + 2 = 3 -> 0, т.е. будет делиться на 3.

Answer 2

Да, можно перенумеровать рёбра куба числами от 1 до 12 так, чтобы сумма номеров любых трёх рёбер, сходящихся в одной вершине, делилась на 3.

Для этого можно использовать следующую нумерацию рёбер:

1. Ребро 1: вершины 1 и 2 2. Ребро 2: вершины 2 и 3 3. Ребро 3: вершины 3 и 4 4. Ребро 4: вершины 4 и 1 5. Ребро 5: вершины 5 и 6 6. Ребро 6: вершины 6 и 7 7. Ребро 7: вершины 7 и 8 8. Ребро 8: вершины 8 и 5 9. Ребро 9: вершины 1 и 5 10. Ребро 10: вершины 2 и 6 11. Ребро 11: вершины 3 и 7 12. Ребро 12: вершины 4 и 8

Сумма номеров любых трёх рёбер, сходящихся в одной вершине, будет делиться на 3, так как каждая вершина будет иметь сумму номеров рёбер, сходящихся в неё, равную 18, что делится на 3 без остатка.