Question

Решите не равенство: a) (x-2)(6-x)/3+x больше или ровно 0. б)x²(3x-2)(x-8)<0 срочно решите методом интервала пожалуйста

Answer 1

$1)\; \; \frac{(x-2)(6-x)}{3+x}\geq 0\\\\x_1=2\; ,\; x_2=6\; ,\; \; x_3=-3\\\\znaki:\; \; \; ---(-3)+++[\, 2\, ]--[\, 6\, ]+++\\\\x\in (-3,2\,]\cup [\, 6,+\infty )\\\\2)\; \; x^2(3x-2)(x-8)$

Answer 2

Давайте разберемся с каждым неравенством по отдельности: a) Решение неравенства: \(\frac{(x-2)(6-x)}{3} + x \geq 0\) Сначала упростим выражение: \(\frac{(x-2)(6-x)}{3} + x \geq 0\) Умножим обе стороны на 3, чтобы избавиться от дроби: \((x-2)(6-x) + 3x \geq 0\) Теперь раскроем скобки и упростим: \((x^2 - 8x + 12) + 3x \geq 0\) \(x^2 - 5x + 12 \geq 0\) Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 12 = 0\). Мы можем использовать дискриминант (D) для определения характера корней: \(D = b^2 - 4ac\) где \(a = 1\), \(b = -5\), и \(c = 12\). \(D = (-5)^2 - 4(1)(12) = 25 - 48 = -23\) Поскольку дискриминант отрицателен, у нас есть два комплексных корня. Это означает, что уравнение \(x^2 - 5x + 12 = 0\) не имеет действительных корней. Теперь давайте определим знак выражения \(x^2 - 5x + 12\) для различных интервалов. Для этого мы можем использовать тестирование интервалов, подставляя в выражение значения из каждого интервала: 1. Если \(x < 0\), то \(x^2 - 5x + 12 > 0\) (положительное). 2. Если \(0 < x < 3\), то \(x^2 - 5x + 12 > 0\) (положительное). 3. Если \(3 < x < \infty\), то \(x^2 - 5x + 12 > 0\) (положительное). Теперь мы видим, что выражение \(x^2 - 5x + 12\) положительное на всех интервалах, исключая \(x = 0\), \(x = 3\). Это означает, что решением исходного неравенства является интервал: \(x \in (-\infty, 0] \cup [3, \infty)\) Теперь перейдем ко второму неравенству: б) Решение неравенства: \(x^2(3x-2)(x-8) < 0\) Чтобы решить это неравенство методом интервалов, мы должны определить интервалы, на которых выражение \(x^2(3x-2)(x-8)\) отрицательное. Для начала определим значения \(x\), которые делают каждый множитель равным нулю: 1. \(x^2 = 0\) при \(x = 0\). 2. \(3x - 2 = 0\) при \(x = \frac{2}{3}\). 3. \(x - 8 = 0\) при \(x = 8\). Теперь мы имеем четыре интервала: A: \((- \infty, \frac{2}{3})\) B: \((\frac{2}{3}, 0)\) C: \((0, 8)\) D: \((8, +\infty)\) Выберем по одной точке из каждого интервала и определим знак выражения \(x^2(3x-2)(x-8)\) в этих точках. 1. Для \(x = -1\), \(x^2(3x-2)(x-8) > 0\). 2. Для \(x = \frac{1}{2}\), \(x^2(3x-2)(x-8) < 0\). 3. Для \(x = 4\), \(x^2(3x-2)(x-8) > 0\). 4. Для \(x = 9\), \(x^2(3x-2)(x-8) < 0\). Исходя из этой информации, мы видим, что выражение \(x^2(3x-2)(x-8)\) отрицательное на интервалах B и D. Таким образом, решением исходного неравенства является объединение интервалов B и D: \(x \in (\frac{2}{3}, 0) \cup (8, +\infty)\)