Question

(1/4)^x-4(1/2)^x>-4 Помогите пожалуйста

Answer 1

$>-4\\\\\bigg(\frac{\big1}{\big4}\bigg)^x-4*\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^x+4>0\\\\\Bigg(\:\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^{x}\Bigg)^2-2*2*\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^{x}+2^2>0\\\\Formyla\::\\\\\boxed{\:\:a^2-2*a*b+b^2=\Big(a-b\Big)^2\:\:}$

$>0\\\\No\:\:\:\:\Bigg(\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^x-2\Bigg)^2\geq0\:\:,\:\:\:tak\:\:\:kak\:\:\:\:Q^2\geq0\\\\\\Znahit\:,\:\:\:\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^x-2\neq0\\\\\bigg(\frac{\big1}{\big2}\bigg)^x\neq2\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:2^{-x}\neq2^1\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:-x\neq1\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:x\neq-1\\\\\\\boxed{\:\:x\:\:\in\:\:\Big(-\infty\:;-1\:\Big)\:\:\cup\:\:\Big(-1\:\:;+\infty\:\Big)\:\:}$

Answer 2

Для решения данного неравенства, сделаем замену переменной: пусть y = (1/2)^x. Тогда неравенство примет вид: (1/4)^x - 4(1/2)^x > -4. Подставляем замену переменной: y^2 - 4y > -4. Переносим все слагаемые в одну часть: y^2 - 4y + 4 > 0. Данный квадратный трехчлен можно разложить в виде (y - 2)^2 > 0. То есть, он всегда положителен, за исключением точки y = 2. Подставляем обратно y = (1/2)^x: (1/2)^x = 2. Возводим обе части уравнения в степень -1: (2^(-1))^x = 2^(-1). Используем свойство степеней: 2^(-x) = 2^(-1). Записываем в виде уравнения: -x = -1. Умножаем обе части на -1: x = 1. Таким образом, единственное решение данного неравенства: x = 1.