Question

Решить уравнение [x^2003]+[x^2002]+...+[x^2]+[x]={x}-1

Answer 1

∀a ∈ ℝ: {a} ∈ [0; 1) ⇒ {x} - 1 ∈ [-1; 0).

∀a ∈ ℝ: [a] ∈ ℤ ⇒ [x] + ... + [x²⁰⁰³] ∈ ℤ.

Но [x] + ... + [x²⁰⁰³] = {x} - 1. Значит, {x} - 1 ∈ ℤ ∩ [-1; 0), то есть {x} - 1 = -1, или {x} = 0 ⇔ x ∈ ℤ.

Теперь переформулируем задачу.

Найдите все целые решения уравнения x²⁰⁰³ + ... + x + 1 = 0.

По следствию из теоремы Безу целые корни многочлена должны являться делителями свободного члена. В нашем случае свободный член - 1. У него два делителя: 1 и -1. Очевидно, что 1²⁰⁰³ + ... + 1 + 1 ≠ 0, а (-1)²⁰⁰³ + ... + (-1) + 1 = 0. Значит, имеем корень, равный -1. Других целых решений, как оговаривалось ранее, нет.

Ответ: x = -1.

Answer 2

Для начала заметим, что данное уравнение содержит сумму всех квадратов степеней переменной x. Обозначим данную сумму как S и разложим ее на слагаемые: S = [x^2003] + [x^2002] + ... + [x^2] + [x]. Заметим, что каждое слагаемое равно числу целых степеней, меньших или равных соответствующей степени переменной x. Таким образом, [x^2003] равно количеству целых чисел, не превосходящих 2003, [x^2002] равно количеству целых чисел, не превосходящих 2002, и так далее. То есть, [x^2003] + [x^2002] + ... + [x^2] + [x] = 2003 + 2002 + ... + 2 + 1 = 2003 * (2003 + 1) / 2 = 2003 * 1002 = 2008206. Теперь рассмотрим правую часть уравнения: {x} - 1. Фигурные скобки обозначают дробную часть числа, поэтому {x} всегда находится в интервале [0, 1). Таким образом, {x} - 1 всегда находится в интервале [-1, 0). Поэтому для данного уравнения нет решений, так как левая часть, равная 2008206, не может быть равной значению в интервале [-1, 0). Таким образом, уравнение не имеет решений.