Question

Сколько решений в целых числах имеет уравнение x^2+ y^2+ x^2y^2=9?

Answer 1

Обратим внимание на то, что x или y не может быть больше 3.

То есть если мы возьмём x = ±4, а y = 0 (так как x находится в чётной степени, то корни полученные с одним знаком будут такими же если мы будем работать с другим знаком) то получим следующее

4²+0+0 = 9

16 = 9

Это значит, что значения x и y принадлежат отрезку [3, -3], где x и y - целые числа

Тогда нам не составит труда их все перебрать

1. Пусть x = ±3

(±3)² + y² + (±3)²y² = 9

9 + y² + 9y² = 9

10y² = 0 ⇒ y = 0 - два корня (один если x = 3 и ещё одни если x = -3)

2. Пусть x = ±2

(±2)² + y² + (±2)²y² = 9

5y² = 5

y = ±1 - четыре корня (два если x = 2, и ещё два если x = -2)

3. Пусть x = ±1

(±1)² + y² + (±1)²y² = 9

2y² = 8

y = ±2 - четыре корня

4. Пусть x = 0

y² = 9

y = ±3 - два корня

Мы нашли все возможные корни, просуммируем их:

2 + 4 + 4 + 2 = 12

Ответ: 12 корней

Answer 2

Для нахождения целых решений уравнения \(x^2 + y^2 + x^2y^2 = 9\), давайте проанализируем возможные случаи: 1. Если \(x = 0\), то уравнение принимает вид \(y^2 = 9\), и это уравнение имеет два целых решения: \(y = 3\) и \(y = -3\). 2. Если \(y = 0\), то уравнение также примет вид \(x^2 = 9\), и это уравнение имеет два целых решения: \(x = 3\) и \(x = -3\). 3. Если \(x\) и \(y\) оба не равны нулю, то можно разделить обе стороны уравнения на \(x^2y^2\): \[\frac{x^2}{x^2y^2} + \frac{y^2}{x^2y^2} + 1 = \frac{9}{x^2y^2}.\] Это приводит к следующему уравнению: \[1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{9}{x^2y^2}.\] Теперь заметим, что слагаемые в левой части уравнения - это целые числа, поэтому и правая часть также должна быть целым числом. Следовательно, \(x^2y^2\) должно делить 9. Таким образом, \(x^2y^2\) может принимать значения 1, 3 или 9. Рассмотрим каждый из этих случаев: a. Если \(x^2y^2 = 1\), то это означает, что \(x\) и \(y\) могут быть равны только 1 или -1 (так как квадрат любого другого целого числа будет больше 1). Это дает четыре решения: \((x, y) = (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)\). b. Если \(x^2y^2 = 3\), то снова \(x\) и \(y\) могут быть только равны 1 или -1, так как другие целые числа в квадрате больше 3. Это дает четыре решения: \((x, y) = (1, 1), (-1, 1), (1, -1), (-1, -1)\). c. Если \(x^2y^2 = 9\), то это означает, что \(x\) и \(y\) могут быть равны только 3 или -3. Это дает четыре дополнительных решения: \((x, y) = (3, 3), (-3, 3), (3, -3), (-3, -3)\). Таким образом, всего у нас есть 12 целых решений уравнения \(x^2 + y^2 + x^2y^2 = 9\).