Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой У=х^2 и прямыми х=0, х=4, у=0

Answer 1

площадь равна интегралу:

$\int\limits^4_0 {x^{2}} \, dx = \frac{x^{3}}{3} |^{4}_{0} = \frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{64}{3}$

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой У=х^2 и прямыми х=0, х=4, у=0, можно воспользоваться методом интегрирования.

Интегрирование по оси x

Сначала нам нужно найти точки пересечения параболы с прямыми. Для этого приравняем уравнение параболы к каждой из прямых:

Приравниваем параболу к прямой х=0: У=0^2 У=0

Точка пересечения параболы с прямой х=0: (0, 0)

Приравниваем параболу к прямой х=4: У=4^2 У=16

Точка пересечения параболы с прямой х=4: (4, 16)

Теперь мы можем найти интеграл площади фигуры между прямыми х=0 и х=4. Для этого интегрируем параболу по оси x на этом интервале.

Интеграл площади фигуры между прямыми х=0 и х=4: ∫[0, 4] (х^2) dx

Вычислим этот интеграл:

∫[0, 4] (х^2) dx = [х^3/3] [0, 4] = (4^3/3) - (0^3/3) = 64/3

Интегрирование по оси y

Мы также можем найти площадь фигуры, интегрируя по оси y. Для этого мы должны выразить x через y в уравнении параболы.

Уравнение параболы У=х^2 можно переписать как x=√y или x=-√y.

Теперь мы можем найти интеграл площади фигуры между прямыми у=0 и у=16. Для этого интегрируем параболу по оси y на этом интервале.

Интеграл площади фигуры между прямыми у=0 и у=16: ∫[0, 16] (x) dy

Заменяем x на √y и -√y:

∫[0, 16] (√y) dy + ∫[0, 16] (-√y) dy

Вычислим каждый из этих интегралов:

∫[0, 16] (√y) dy = [2/3 * y^(3/2)] [0, 16] = (2/3 * 16^(3/2)) - (2/3 * 0^(3/2)) = 2/3 * 64 = 128/3

∫[0, 16] (-√y) dy = [-2/3 * y^(3/2)] [0, 16] = (-2/3 * 16^(3/2)) - (-2/3 * 0^(3/2)) = -2/3 * 64 = -128/3

Теперь найдем сумму этих двух интегралов:

(128/3) + (-128/3) = 0

Получили, что площадь фигуры, ограниченной параболой У=х^2 и прямыми х=0, х=4, у=0, равна 0.

Таким образом, площадь этой фигуры равна 0, что означает, что она представляет собой линию или точку, а не область.

Answer 3

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой У = х^2 и прямыми х = 0, х = 4, у = 0, мы можем воспользоваться методом подразделения на простые фигуры и интегрирования.

Определение границ фигуры

Для начала, давайте посмотрим на график параболы и прямых, чтобы определить границы фигуры.

График параболы У = х^2 является симметричным относительно оси У и имеет вершину в точке (0, 0).

Прямая х = 0 является вертикальной линией, которая проходит через начало координат (0, 0).

Прямая х = 4 также является вертикальной линией и пересекает параболу в точке (4, 16).

Прямая у = 0 является горизонтальной линией, которая пересекает параболу в точках (0, 0) и (4, 0).

Итак, фигура, ограниченная параболой У = х^2 и прямыми х = 0, х = 4, у = 0, будет заключена между вертикальными линиями х = 0 и х = 4, а также горизонтальной линией у = 0.

Разделение на простые фигуры

Чтобы найти площадь этой фигуры, мы можем разделить ее на две простые фигуры: треугольник и прямоугольник.

1. Треугольник: Этот треугольник образуется параболой У = х^2 и прямыми х = 0 и х = 4. Он заключен между вертикальными линиями х = 0 и х = 4, а также параболой. Этот треугольник имеет высоту, равную максимальному значению параболы, то есть максимальному значению у, равному 16, и основание, равное расстоянию между прямыми х = 0 и х = 4, то есть 4. Таким образом, площадь этого треугольника равна (1/2) * 16 * 4 = 32.

2. Прямоугольник: