Question

Решите интеграл: int = x dx/ sqrt(1-3x^2-2x^4)

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Даны в приложении

Answer 2

Для решения данного интеграла, сначала нам нужно произвести замену переменной, чтобы упростить интеграл. Давайте рассмотрим интеграл: ∫ x dx / √(1 - 3x^2 - 2x^4) Мы можем воспользоваться заменой переменной, чтобы упростить выражение. Для этого предположим, что: u = x^2 Тогда: du = 2x dx Теперь мы можем выразить dx через du: dx = du / (2x) И подставить это в интеграл: ∫ (x dx) / √(1 - 3x^2 - 2x^4) = ∫ (1/2) * (1/√(1 - 3x^2 - 2x^4)) du Следующим шагом мы можем сделать замену в знаменателе. Для этого сначала выразим x^2 через u: x^2 = u Теперь давайте выразим x через u: x = √u И теперь заменим x и dx в интеграле: ∫ (1/2) * (1/√(1 - 3x^2 - 2x^4)) du = ∫ (1/2) * (1/√(1 - 3u - 2u^2)) du Теперь наш интеграл сводится к интегралу от функции одной переменной u. Осталось только решить этот интеграл. Для этого нам понадобится метод частных дробей и разложение на простейшие дроби. Для начала найдем корни уравнения в знаменателе: 1 - 3u - 2u^2 = 0 Для упрощения можно разделить уравнение на -1: 2u^2 + 3u - 1 = 0 Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что a = 2, b = 3 и c = -1: D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * (-1) = 9 + 8 = 17 Извлечем корни из уравнения: u₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + √17) / 4 u₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - √17) / 4 Теперь мы можем разложить исходную функцию на простейшие дроби. Нам нужно найти такие коэффициенты A и B, что: 1/√(1 - 3u - 2u^2) = A / √(u - u₁) + B / √(u - u₂) Умножим обе стороны на √(u - u₁) * √(u - u₂) и продифференцируем обе стороны: 1 = A√(u - u₂) + B√(u - u₁) Теперь подставим значения u₁ и u₂: 1 = A√(u - (-3 - √17)/4) + B√(u - (-3 + √17)/4) Теперь, для нахождения A и B, давайте подставим значения u₁ и u₂ и решим эту систему уравнений: 1 = A√(u + (3 + √17)/4) + B√(u + (3 - √17)/4) Теперь можно решить систему уравнений и найти A и B. После нахождения A и B мы сможем выразить интеграл в виде суммы двух интегралов, каждый из которых интегрируется относительно переменной u: ∫ (1/2) * (1/√(1 - 3u - 2u^2)) du = (1/2) * (A∫(u + (3 + √17)/4)^(-1/2) du + B∫(u + (3 - √17)/4)^(-1/2) du) Теперь мы можем решить эти два интеграла по отдельности, используя замену переменной и правила интегрирования. После этого можно будет выразить их через исходную переменную x и объединить результаты.