Question

Решите пожалуйста ! Периметр прямоугольного участка земли равен 100 м. Задайте формулой функцию зависимости площади участка от длины одной из его сторон. Найдите размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей.

Answer 1

Одна сторона х м, вторая у м.

Р=2·(х+у)

2·(х+у)=100   ⇒  х+y=50

y=50-x

S(прямоугольника)=x·y

S(x)=x·(50-x)

или

S(x)=50x-x² - зависимость площади участка от длины

одной из его сторон.

Это квадратичная функция, графиком является парабола,

ветви которой направлены вниз.

Наибольшее значение в вершине, т. е при х=25

Тогда

y=50-x=50-25=25

x=y=25

Значит наибольшая площадь у квадрата.

Можно исследовать функцию S(x)=50x-x²  с помощью

производной.

S`(x)=50-2x

S`(x)=0

50-2x=0

x=25

Answer 2

Чтобы найти функцию зависимости площади участка от длины одной из его сторон, мы можем использовать формулу площади прямоугольника:

S = L * W,

где S - площадь, L - длина, W - ширина.

Дано, что периметр прямоугольного участка земли равен 100 м:

P = 2L + 2W = 100.

Мы можем решить это уравнение относительно одной из переменных. Например, решим его относительно L:

2L = 100 - 2W,

L = 50 - W.

Теперь, используя выражение для L, можем записать функцию площади S относительно W:

S = (50 - W) * W = 50W - W^2.

Чтобы найти размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, нам нужно найти вершину параболы, заданной этой функцией. Вершина параболы имеет координаты (x, y), где x - это точка экстремума функции, а y - значение функции в этой точке.

Для нашей функции площади S(x) = 50x - x^2, экстремум найдется при производной функции равной нулю:

dS/dx = 50 - 2x = 0.

Отсюда получаем, что x = 25.

Затем мы можем использовать эту точку x = 25 для вычисления координаты y, то есть значения площади:

S(25) = 50(25) - (25)^2 = 1250 - 625 = 625.

Итак, размеры участка, при которых его площадь будет наибольшей, равны L = 50 - x = 50 - 25 = 25 м и W = x = 25 м, а площадь будет равна S = 625 кв. м.