Question

X^9+x^4-x-1Разложить на 5 множителей

Answer 1

$x^9+x^4-x-1=(x^6+x^3+1)(x^3-1)+x(x^3-1)=\\(x^4-x^2+x+1)(x^2+1)(x^3-1)=(x^3-x^2+1)(x+1)(x-1)(x^2+1)(x^2+x+1)$

Answer 2

Для разложения многочлена \(x^9 + x^4 - x - 1\) на множители, мы должны сначала попытаться найти его рациональные корни, используя теорему Рациональных корней. Эта теорема утверждает, что любой рациональный корень многочлена будет иметь вид \(p/q\), где \(p\) - делитель свободного члена многочлена (в данном случае -1), а \(q\) - делитель старшего коэффициента многочлена (в данном случае 1).

Итак, мы ищем рациональные корни многочлена \(x^9 + x^4 - x - 1\) в виде \(p/q\), где \(p\) может быть одним из делителей -1, а \(q\) может быть одним из делителей 1. Возможные рациональные корни включают в себя -1, 1.

Давайте проверим, являются ли эти значения корнями:

1. \(x = -1\): Подставляем \(x = -1\) в многочлен: \[(-1)^9 + (-1)^4 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0\]

Таким образом, \(x = -1\) - рациональный корень.

2. \(x = 1\): Подставляем \(x = 1\) в многочлен: \[1^9 + 1^4 - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0\]

Таким образом, \(x = 1\) - рациональный корень.

Теперь, когда мы нашли два рациональных корня, мы можем применить синтетическое деление или деление полиномов, чтобы разложить многочлен на множители. В данном случае, мы можем использовать синтетическое деление, начиная с \(x = -1\).

Сначала делим \(x^9 + x^4 - x - 1\) на \(x + 1\):

         x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
    ---------------------------------------------
x + 1 |  x^9 + x^4 - x - 1

Получаем остаток \(x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\).

Теперь делим \(x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1\) на \(x - 1\):

         x^7 + 1
    ---------------------------
x - 1 |  x^8 - x^7 + x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1

Получаем остаток \(x^7 + 1\).

Теперь у нас есть два множителя:

1. \(x + 1\) 2. \(x^7 + 1\)

Далее мы можем разложить \(x^7 + 1\) на множители. Обратите внимание, что \(x^7 + 1\) - это сумма куба и единицы, что может быть выражено как разность кубов:

\[x^7 + 1 = (x^7 + 1^7) = (x + 1)(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)\]

Таким образом, полное разложение многочлена \(x^9 + x^4 - x - 1\) на множители будет:

\[x^9 + x^4 - x - 1 = (x + 1)(x + 1)(x^6 - x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)\]

Это разложение на пять множителей.