Question

Пусть a и b произвольные числа. Докажите, что уравнение (х+а)(x+b)=2x+a+b имеет два различных корня

Answer 1

Откроем скобки и перенесём все члены влево  Х^2+aX+bX+ad-2X-a-b=0
Приведём подобные    X^2+(a+b-2)X-(a+b)=0
Найдём дискрименант    Д=(а+в-2)^2+4(a+b)=a^2+b^2+4+2ab-4a-4b+4a+4b=a^2+b^2+4+2ab
эта сумма больше 0 следовательно уравнение имеет 2 корня.

Answer 2

Для доказательства того, что уравнение $(x+a)(x+b) = 2x+a+b$ имеет два различных корня, мы должны рассмотреть его характеристики и применить соответствующие методы алгебры.

Предположим, что уравнение имеет два различных корня. Это означает, что существуют два различных значения $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют уравнению. Мы можем записать это следующим образом:

$(x_1 + a)(x_1 + b) = 2x_1 + a + b$

$(x_2 + a)(x_2 + b) = 2x_2 + a + b$

Теперь давайте раскроем скобки и упростим уравнения:

$x_1^2 + (a+b)x_1 + ab = 2x_1 + a + b$

$x_2^2 + (a+b)x_2 + ab = 2x_2 + a + b$

Обратите внимание, что мы использовали тот факт, что $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$.

Теперь объединим подобные члены в каждом уравнении:

$x_1^2 + (a+b-2)x_1 + ab - (a+b) = 0$

$x_2^2 + (a+b-2)x_2 + ab - (a+b) = 0$

Мы можем заметить, что оба уравнения имеют одинаковый коэффициент при $x$, а именно $(a+b-2)$. Это означает, что если у нас есть два различных корня, то эти корни должны удовлетворять этому условию.

Теперь давайте рассмотрим это условие более подробно. Из уравнения $(a+b-2)x + ab - (a+b) = 0$ мы можем выразить $x$:

$x = \frac{(a+b) - ab}{a+b-2}$

Очевидно, что если $a+b-2 \neq 0$, то $x$ определен и уравнение имеет один корень. Однако, если $a+b-2 = 0$, то $x$ будет неопределенным и уравнение не будет иметь корней.

Таким образом, уравнение $(x+a)(x+b) = 2x+a+b$ имеет два различных корня только если $a+b-2 \neq 0$. В противном случае, уравнение может иметь один корень или не иметь корней вовсе, в зависимости от значений $a$ и $b$.