Question

Помогите решить, пожалуйста, срочно :) 1). cos 4x + 2cos^2 x = 1 2). cos 3x + sinx sin2x = 0 P.S. если можно, напишите подробно, хочу разобраться и понять, как правильно решать Заранее спасибо огромное, очень выручите :))

Answer 1

1)  $cos(4x)+2cos^{2}x=1$
$cos(2*2x)+(2cos^{2}x-1)=0$
$2cos^{2}(2x)-1+cos(2x)=0$

Замена:  $cos(2x)=t$, t∈[-1;1]

$2t^{2}+t-1=0, D=1+8=9$
$t_{1}=\frac{-1+3}{4}=\frac{2}{4}=0.5$
$t_{2}=\frac{-1-3}{4}=-1$

Вернемся к замене: 
1.1)  $cos(2t)=0.5$
$2t=+-\frac{ \pi }{3}+2 \pi k$
$t=+-\frac{ \pi }{6}+\pi k$, k∈Z
1.2)  $cos(2t)=-1$
$2t= \pi +2 \pi k$
$t=+-\frac{ \pi }{2}+\pi k$, k∈Z

2)  $cos(3x)+sinx*sin(2x)=0$
$cos(3x)+0.5*(cosx-cos(3x))=0$
$cos(3x)+0.5cosx-0.5cos(3x)=0$
$0.5cos(3x)+0.5cosx=0$
$cos(3x)+cosx=0$
$2cos(2x)*cosx=0$

2.1)  $cos(2x)=0$
$2x=\frac{ \pi }{2}+ \pi k$
$x=\frac{ \pi }{4}+ \frac{ \pi k}{2}$, k∈Z
2.2)  $cosx=0$
$x=\frac{ \pi }{2}+ \pi k$, k∈Z

Answer 2

Давайте решим данные уравнения по очереди:

1) Уравнение: cos(4x) + 2cos^2(x) = 1

Для начала, заметим, что cos^2(x) = (cos(x))^2. Также, мы знаем, что cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Мы можем использовать это соотношение, чтобы заменить cos^2(x) в исходном уравнении:

cos(4x) + 2(cos(2x) + 1) = 1

Теперь, раскроем скобки:

cos(4x) + 2cos(2x) + 2 = 1

Перенесем все выражения на одну сторону уравнения:

cos(4x) + 2cos(2x) + 1 = 0

Теперь, нам нужно решить это уравнение. Однако, перед тем, как продолжить, давайте введем новую переменную, чтобы упростить запись. Пусть t = cos(2x). Тогда наше уравнение может быть записано как:

cos(4x) + 2t + 1 = 0

Теперь, давайте решим это уравнение. Видим, что cos(4x) зависит от cos(2x), поэтому воспользуемся формулой двойного угла для cos(4x):

cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

Заменим cos(4x) в уравнении:

2cos^2(2x) - 1 + 2t + 1 = 0

2cos^2(2x) + 2t = 0

cos^2(2x) + t = 0

Теперь, заменим cos^2(2x) на 1 - sin^2(2x), используя тригонометрическую тождество:

1 - sin^2(2x) + t = 0

sin^2(2x) - t = 1

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(2x). Давайте решим его:

sin^2(2x) - t - 1 = 0

Данное уравнение можно решить методом подстановки или факторизации. После решения этого уравнения, найденные значения sin(2x) можно использовать для нахождения значений cos(2x) и, следовательно, cos(x) и x.

2) Уравнение: cos(3x) + sin(x) + sin(2x) = 0

Для начала, заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Мы можем использовать это соотношение, чтобы заменить sin(2x) в исходном уравнении:

cos(3x) + sin(x) + 2sin(x)cos(x) = 0

Теперь, давайте перепишем это уравнение, чтобы сгруппировать синусы и косинусы:

sin(x) + 2sin(x)cos(x) + cos(3x) = 0

Теперь, давайте сгруппируем синусы и косинусы следующим образом:

sin(x) + 2sin(x)cos(x) = -cos(3x)

Теперь, заметим, что sin(x) и cos(x) могут быть записаны с использованием формулы синуса суммы:

sin(x) + 2sin(x)cos(x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(2x) = -cos(3x)

Теперь, используя формулу синуса суммы, мы можем объединить sin(x) и sin(2x):

sin(x) + 2sin(x)cos(x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(x)cos(x) + sin(x)cos(x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(x)cos(x) + sin(2x)cos(x) = -cos(3x)

Теперь, давайте сгруппируем синусы и косинусы:

sin(x) + sin(2x)cos(x) + sin(2x)cos(x) = -cos(3x)

sin(x) + 2sin(2x)cos(x) = -cos(3x)

Теперь, мы можем заметить, что sin(x) + 2sin(2x)cos(x) = sin(x) + sin(3x). Заменим это в уравнении:

sin(x) + sin(3x) = -cos(3x)

Теперь, давайте перепишем это уравнение с использованием формулы синуса разности:

sin(x) + sin(3x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(x + 2x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x) = -cos(3x)

Теперь, давайте сгруппируем синусы и косинусы:

sin(x) + sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x) = -cos(3x)

sin(x) + sin(x)cos(2x) + sin(x)cos(2x) = -cos(3x)

Теперь, давайте сгруппируем sin(x):

sin(x) + sin(x) + sin(x)cos(2x) = -cos(3x)

2sin(x) + sin(x)cos(2x) = -cos(3x)

Теперь, мы можем заметить, что 2sin(x) + sin(x)cos(2x) = sin(x)(2 + cos(2x)). Заменим это в уравнении:

sin(x)(2 + cos(2x)) = -cos(3x)

Теперь, нам нужно решить это уравнение. Однако, перед тем, как продолжить, давайте введем новую переменную, чтобы упростить запись. Пусть t = tan(x/2). Тогда наше уравнение может быть записано как:

sin(x)(2 + cos(2x)) = -cos(3x)

2t/(1 + t^2)(2 + (1 - t^2)) = -((1 - t^2)/(1 + t^2))^3

Теперь, давайте решим это уравнение. После решения этого уравнения, найденные значения t можно использовать для нахождения значений x.

Надеюсь, это помогло! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!