Question

Выберите неверное неравенство,если известно,что х^2 + у^2=1,х >0 и у>0"1.х+у>1 2.у^2<1 3.х^3>х^2 4.у<у^3

Answer 1

Из первого равенства очевидным образом следуют неравенства $|x| \ \textless \ 1, |y| \ \textless \ 1$
Отсюда легко убедиться в справедливости неравенства под номером 2. Для этого достаточно обе части неравенства $|y| \ \textless \ 1$ возвести в квадрат, получив, $y^{2} \ \textless \ 1$, что и требовалось проверить.

Первое неравенство можно проверить, например, следующим образом. Представим первое равенство следующим образом:
$x^{2} + y^{2} = 1 \\ (x+y)^{2} - 2xy = 1 \\ (x+y)^{2} = 1 + 2xy$
Поскольку x > 0, y > 0, то 2xy > 0, а 1 + 2xy > 1. Значит, и $(x+y)^{2} \ \textgreater \ 1$
Поскольку x + y > 0, то из последнего неравенства следует неравенство x + y  > 1, что и требовалось доказать.

Последние два неравенства неверные. Сначала заметим, что из неравенства $|x| \ \textless \ 1, |y| \ \textless \ 1$, следует, что 0 <x < 1, 0 < y < 1
Можно доказать, что куб таких чисел меньше квадрата, в третьем же неравенстве наоборот всё.
Аналогично, куб числа от 0 до единицы всегда меньше самого числа. Эти утверждения очевидны. Поэтому неравенства 3 и 4 неверны. Выбрать какой-то один вариант тут не получится.

Answer 2

Известно, что x^2 + y^2 = 1, x > 0 и y > 0.

1. Неверное неравенство: х + у > 1. Подставляя x = 0.5 и y = 0.9, мы получаем 0.5 + 0.9 = 1.4, что больше 1. Это неверное неравенство.

2. y^2 < 1. Это верное неравенство, так как если подставить y = 0.9, то получим 0.9^2 = 0.81, что меньше 1.

3. x^3 > x^2. Это верное неравенство, так как если подставить x = 0.5, то получим 0.5^3 = 0.125, что больше 0.5^2 = 0.25.

4. y < y^3. Это верное неравенство, так как если подставить y = 0.9, то получим 0.9 < 0.9^3 = 0.729.

Таким образом, неверным неравенством является х + у > 1.