Question

три числа составляю геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то станет орефметическая прогрессия. если последний увеличить на 64, то получим геометрическую прогрессию. найти эти числа. Ребят, помогите пожалуйста, даю 60 баллов

Answer 1

Пусть числа a,b,c составляют геометрическую прогрессию, тогда
b²=ac
увеличим второе число на 8,тогда a,b+8,c составляют арифметическую прогрессию ⇒ 
2(b+8)=a+c
увеличим третье число на 64 ,тогда a,b+8,c+64 составляют геометрическую прогрессию ⇒
(b+8)²=a(c+64)

имеем систему из трех уравнений  с тремя неизвестными

{b²=ac                                  {b²=ac   
{2(b+8)=a+c                         {2b+16=a+c
{(b+8)²=a(c+64)                   {b²+16b+64=ac+64a

{b²=ac                                   {b²=ac     
{c=2b+16-a                           {c=2b+16-a  
{ac+16b+64=ac+64a            {b=4a-4

{b²=ac  
{c=2(4a-4)+16-a=8a-8+16-a=7a+8
{b=4a-4

(4a-4)²=a(7a+8)
16a²-32a+16=7a²+8a
9a²-40a+16=0
D=1600-576=1024=32²
a=(40+32)/18=4
b=4*4-4=12
c=7*4+8=36

или

a=(40-32)/18=8/18=4/9
b=4*4/9-4=16/9-4=-20/9
c=7*4/9+8=28/9+8=(28+72)/9=100/9

ответ: 4;12;36   или    4/9;-20/9;100/9

Answer 2

Давайте обозначим три числа в геометрической прогрессии как a, ar и ar^2, где "a" - это первый член прогрессии, "r" - множитель (значение, на которое умножается каждый последующий член, чтобы получить следующий член).

Сначала у нас есть следующее условие:

Если второе число увеличить на 8, то станет арифметической прогрессией.

Это означает, что второе число (ar) увеличивается на 8, и мы имеем следующее:

ar + 8 - это средний член арифметической прогрессии.

Теперь у нас есть следующее условие:

Если последний член увеличить на 64, то получим геометрическую прогрессию.

Это означает, что последний член (ar^2) увеличивается на 64, и мы имеем следующее:

ar^2 + 64 - это последний член геометрической прогрессии.

Теперь давайте решим эту систему уравнений:

1. ar + 8 - это средний член арифметической прогрессии.
2. ar^2 + 64 - это последний член геометрической прогрессии.

Чтобы упростить задачу, мы можем рассмотреть ar^2 + 64 как новую переменную, например, b:

1. ar + 8 = b
2. b - это последний член геометрической прогрессии.

Теперь мы имеем два уравнения:

1. ar + 8 = b
2. b = ar^2 + 64

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки. Сначала решим первое уравнение относительно "b":

ar + 8 = b

Теперь подставим это значение "b" во второе уравнение:

ar^2 + 64 = ar + 8

Теперь решим это уравнение относительно "r" и "a". Начнем с выражения "r":

ar^2 - ar + 64 - 8 = 0

ar^2 - ar + 56 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно "r". Мы можем использовать дискриминант, чтобы найти значения "r". Дискриминант D для уравнения ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В нашем случае:

a = 1 b = -1 c = 56

D = (-1)^2 - 4 * 1 * 56 = 1 - 224 = -223

Дискриминант D отрицателен, что означает, что у нас нет рациональных корней для "r".

Таким образом, в данной ситуации у нас нет рациональных чисел, удовлетворяющих вашим условиям. Возможно, вы допустили ошибку в условиях, или требуется использовать комплексные числа для решения задачи.