Question

Решите показательное неравенство 4^(х-1) /5^(х) -4^(х) (минус другая дробь) -5^(х) /2*5^(х) +4^(х+1) > либо равно 0.

Answer 1

Решение во вложении---------------------

Answer 2

Давайте рассмотрим данное показательное неравенство:

4^(x-1)/5^(x) - 4^x - 5^(x)/(2*5^x) + 4^(x+1) ≥ 0

Для начала упростим выражение:

4^(x-1)/5^(x) - 4^x - 5^(x)/(2*5^x) + 4^(x+1) = (4^(x-1) * 2 - 4^x - 5^x/2 + 4^(x+1) * 5^x) / 5^x

Теперь упростим числитель:

4^(x-1) * 2 - 4^x - 5^x/2 + 4^(x+1) * 5^x = (2*4^(x-1) - 4^x - 5^x/2 + 5^x * 4^(x+1)) = (2*4^x - 4^x - 5^x/2 + 5^x * 4^x) = (8*4^x - 4^x - 5^x/2 + 20^x)

Теперь подставим числитель обратно в исходное выражение и получим:

(8*4^x - 4^x - 5^x/2 + 20^x) / 5^x ≥ 0

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

(8*4^x - 4^x - 5^x/2 + 20^x) / 5^x = (8*4^x * 2 - 4^x * 2 - 5^x - 5^x * 2 * 4^x) / 10^x

Теперь упростим числитель:

(8*4^x * 2 - 4^x * 2 - 5^x - 5^x * 2 * 4^x) = (16*4^x - 8^x - 5^x - 10^x * 4^x) = (16*4^x - 8^x - 5^x - 40^x)

Теперь подставим числитель обратно в исходное выражение и получим:

(16*4^x - 8^x - 5^x - 40^x) / 10^x ≥ 0

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

(16*4^x - 8^x - 5^x - 40^x) / 10^x = (16*4^x/10^x - 8^x/10^x - 5^x/10^x - 40^x/10^x)

Теперь упростим:

16*4^x/10^x - 8^x/10^x - 5^x/10^x - 40^x/10^x = 16*(2^2)^x/(2*5)^x - (2^3)^x/(2*5)^x - 5^x/10^x - (2^3*5)^x/10^x = 16*2^(2x)/(2*5)^x - 2^(3x)/(2*5)^x - 5^x/10^x - (2*5)^x/10^x

Теперь упростим дальше:

16*2^(2x)/(2*5)^x - 2^(3x)/(2*5)^x - 5^x/10^x - (2*5)^x/10^x = 16/10 - 8/10 - 5/10 - 1 = 2

Итак, мы получили, что неравенство 4^(x-1)/5^(x) - 4^x - 5^(x)/(2*5^x) + 4^(x+1) ≥ 0 выполняется при любом значении x.