Question

Докажите, что функция y=f(x) является четной: а)f(x)=5*x^4+2x^2 б)f(x)=3x^2+cos(3x/) в)f(x)=-6+(sin^2)x г)f(x)=-10x^8+2.5

Answer 1

а)f(x)=5*x^4+2x^2

f(-x)=5*(-x)⁴ + 2(-x)² = 5x⁴ + 2x² - четная

 

 б)f(x)=3x^2+cos(3x)

f(-x)=3(-x)² + cos (-3x) = 3x² + cos (3x) - четная

 

 в)f(x)=-6+(sin^2)x

 f(-x)= -6 + sin² (-x) = -6 + (sin (-x))² = -6 + (-sin x)² = -6 + sin² x - четная

 

г)f(x)=-10x^8+2.5

f(-x) = -10(-x)⁸ + 2,5 = -10x⁸ + 2,5 - четная

Answer 2

Чтобы доказать, что функция является четной, необходимо проверить, что она удовлетворяет следующему условию для всех x:

f(x) = f(-x)

Если это условие выполняется, то функция является четной. Давайте проверим каждую из предложенных функций:

а) f(x) = 5x^4 + 2x^2

Для данной функции проверим условие:

f(x) = 5x^4 + 2x^2 f(-x) = 5(-x)^4 + 2(-x)^2 f(-x) = 5x^4 + 2x^2

Условие выполняется, поэтому функция f(x) = 5x^4 + 2x^2 является четной.

б) f(x) = 3x^2 + cos(3x)

Для данной функции проверим условие:

f(x) = 3x^2 + cos(3x) f(-x) = 3(-x)^2 + cos(3(-x)) f(-x) = 3x^2 + cos(-3x)

Заметим, что cos(-θ) = cos(θ) для любого угла θ. Таким образом:

f(x) = 3x^2 + cos(3x) f(-x) = 3x^2 + cos(3x)

Условие выполняется, поэтому функция f(x) = 3x^2 + cos(3x) тоже является четной.

в) f(x) = -6 + sin^2(x)

Для данной функции проверим условие:

f(x) = -6 + sin^2(x) f(-x) = -6 + sin^2(-x)

Заметим, что sin(-θ) = -sin(θ) для любого угла θ. Таким образом:

f(x) = -6 + sin^2(x) f(-x) = -6 + (-sin(x))^2

f(-x) = -6 + sin^2(x)

Условие выполняется, поэтому функция f(x) = -6 + sin^2(x) также является четной.

г) f(x) = -10x^8 + 2.5

Для данной функции проверим условие:

f(x) = -10x^8 + 2.5 f(-x) = -10(-x)^8 + 2.5 f(-x) = -10x^8 + 2.5

Условие выполняется, поэтому функция f(x) = -10x^8 + 2.5 также является четной.

Таким образом, все предложенные функции являются четными.