Question

дослідіть функцію f(x)=x⁴-4x²+9 на проміжки спадання та зростання; на найбільше та найменше значення функції​

Answer 1

Відповідь:

Це знов я.

Це поліноміальна функція 4-го ступеня.

Проміжки зростання та спадання

Для визначення проміжків зростання та спадання функції, необхідно знайти похідну функції. Похідна цієї функції є f’(x) = 4x³ - 8x.

Функція зростає, коли f’(x) > 0, і спадає, коли f’(x) < 0. Оскільки f’(x) = 0 при x = 0 та x = ±√2, то:

Функція зростає на проміжках (-∞, -√2) та (√2, ∞), оскільки f’(x) > 0 для x < -√2 та x > √2.

Функція спадає на проміжку (-√2, √2), оскільки f’(x) < 0 для -√2 < x < √2.

Максимальне та мінімальне значення функції

Максимальне та мінімальне значення поліноміальної функції можна знайти за допомогою похідної. Ми вже знайшли, що похідна дорівнює нулю при x = 0 та x = ±√2.

Значення функції в цих точках є:

f(0) = (0)⁴ - 4*(0)² + 9 = 9

f(±√2) = (±√2)⁴ - 4*(±√2)² + 9 = 16 - 8 + 9 = 17

Оскільки це поліном четвертого ступеня з додатним коефіцієнтом при найвищому ступеню (a = 1), графік функції виглядає як “W” і має два мінімуми та один максимум:

Максимальне значення функції становить 9 і досягається при x = 0.

Мінімальне значення функції становить 17 і досягається при x = ±√2.

Answer 2

Для дослідження функції $f(x) = x^4 - 4x^2 + 9$ на проміжки спадання та зростання, а також для знаходження найбільших і найменших значень функції, спершу знайдемо похідну функції $f(x)$. Похідна $f'(x)$ нам допоможе знайти критичні точки, де функція може змінювати свій характер.

1. Знайдемо першу похідну $f'(x)$:

$f(x) = x^4 - 4x^2 + 9$ $f'(x) = 4x^3 - 8x$

2. Тепер знайдемо критичні точки, де $f'(x) = 0$:

$4x^3 - 8x = 0$ $4x(x^2 - 2) = 0$

З цього рівняння ми отримуємо дві критичні точки:

a) $x = 0$ b) $x = \sqrt{2}$ (якщо $x^2 - 2 = 0$)

Тепер ми можемо визначити проміжки спадання та зростання функції:

3. Дослідження проміжків:

a) Для $x < 0$: Виберемо, наприклад, $x = -1$. Тоді $f'(-1) = 4(-1)^3 - 8(-1) = -4 + 8 = 4$, що позитивне. Отже, на цьому проміжку функція $f(x)$ зростає.

b) Для $0 < x < \sqrt{2}$: Виберемо, наприклад, $x = 1$. Тоді $f'(1) = 4(1^3) - 8(1) = 4 - 8 = -4$, що від'ємне. Отже, на цьому проміжку функція $f(x)$ спадає.

c) Для $x > \sqrt{2}$: Виберемо, наприклад, $x = 3$. Тоді $f'(3) = 4(3^3) - 8(3) = 108 - 24 = 84$, що позитивне. Отже, на цьому проміжку функція $f(x)$ зростає.

Таким чином, функція $f(x)$ спадає на проміжку $(0, \sqrt{2})$ і зростає на проміжках $(-\infty, 0)$ і $(\sqrt{2}, \infty)$.

4. Тепер знайдемо найбільше і найменше значення функції $f(x)$ на вказаних проміжках.

a) Найменше значення функції $f(x)$ на проміжку $(0, \sqrt{2})$: Для цього можна розглянути значення функції в точці $x = \sqrt{2}$:

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 + 9 = 2 - 8 + 9 = 3$

Отже, найменше значення функції на цьому проміжку - 3.

b) Найбільше значення функції $f(x)$ на проміжках $(-\infty, 0)$ і $(\sqrt{2}, \infty)$: Оскільки функція $f(x)$ безмежно зростає на цих проміжках, то найбільше значення функції також буде безмежнім.

Отже, найбільше значення функції $f(x)$ - безмежність.

Таким чином, найменше значення функції $f(x)$ - 3, а найбільше значення - безмежність.