Question

cosx + cos2x=1 решить уравнение

Answer 1

$\cos x + \cos 2x=1\\ \cos x + (\cos^2x-\sin^2x)=1\\ \cos x+2\cos^2x-1=1\\ 2\cos^2x+\cos x-2=0\\\\ y=\cos x\\ 2y^2+y-2=0\\ y=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}\\ y=-1; \frac{1}{2}\\\\ \cos x=-1\\ x=(2k+1)\pi\\\\ \cos x=\frac{1}{2}\\ x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$

 

Ответ:

$x_1=(2k+1)\pi\\ x_2=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ x_3=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ 

 

где k - любое целое 

Answer 2

Чтобы решить уравнение cos(x) + cos(2x) = 1, мы можем использовать тригонометрические идентичности, чтобы преобразовать его в другую форму.

Использование тригонометрических идентичностей

Давайте воспользуемся формулой двойного угла для cos(2x), которая гласит:

cos(2x) = 2*cos^2(x) - 1

Подставим это значение в уравнение:

cos(x) + 2*cos^2(x) - 1 = 1

Теперь приведем его к более простому виду:

2*cos^2(x) + cos(x) - 2 = 0

Решение квадратного уравнения

Мы получили квадратное уравнение вида 2*cos^2(x) + cos(x) - 2 = 0. Чтобы решить его, давайте представим его в виде (a*cos(x) + b)*(c*cos(x) + d) = 0 и разложим его на множители.

2*cos^2(x) + cos(x) - 2 = (2*cos(x) - 1)*(cos(x) + 2) = 0

Теперь мы получили два уравнения:

2*cos(x) - 1 = 0 или cos(x) + 2 = 0

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение:

2*cos(x) - 1 = 0

Добавим 1 к обеим сторонам:

2*cos(x) = 1

Разделим обе стороны на 2:

cos(x) = 1/2

Теперь найдем все значения x, удовлетворяющие этому уравнению. Для этого воспользуемся таблицей значений функции cos(x) или обратной функции arc cos(x).

cos(x) = 1/2 соответствует углу x, который равен π/3 (60 градусов) или 5π/3 (300 градусов).

Таким образом, мы получили два решения для первого уравнения:

x = π/3 + 2π*n, где n - целое число

и

x = 5π/3 + 2π*n, где n - целое число

Решение второго уравнения

Решим второе уравнение:

cos(x) + 2 = 0

Вычтем 2 из обеих сторон:

cos(x) = -2

Однако функция косинуса ограничена значениями от -1 до 1, поэтому нет решений для этого уравнения.

Итоговые решения

Таким образом, решение уравнения cos(x) + cos(2x) = 1 выглядит следующим образом:

x = π/3 + 2π*n, где n - целое число

и

x = 5π/3 + 2π*n, где n - целое число

Пожалуйста, обратите внимание, что решения будут повторяться каждые 2π радиан или 360 градусов, так как тригонометрические функции являются периодическими.