Question

Решить в целых числах x^2=2003y-1, 2^x+1=3y^2, 3x=5y^2+4y-1

Answer 1

Ответ:

1)

нет решений

2)

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3)

$y=3k-1\\x=3k(5k-2)$ , где $k$ - целое число

Пошаговое объяснение:

Здравствуйте!

1)

$></p> <p>Очевидно, что  <img src=$

Заметим, что число $2003$ - простое ( сначала будет считать, что $x>0$, в силу того, что квадрат неотрицателен), а также, что x не делится на

Тогда, согласно малой теореме Ферма имеем:

$x^{2002} = 2003k+1$  ( дает при делении на $2003$ остаток $1$ )

$x^2 = 2003y-1$

Возведем обе части равенства в $1001$ степень:

$></p> <p>Поскольку в биноме Ньютона : <img src=$  каждый член, помимо члена  $(-1)^{1001}$, помножен на некоторую натуральную степень числа $2003$, то  $(2003y-1)^{1001} = 2003k +(-1)^{1001}=2003k-1$  , поскольку $1001$ - нечетное.

Таким образом, $x^{2002}$ дает при делении на $2003$ остаток $-1$ или $2002$, то есть мы пришли к противоречию, а значит решений в целых числах нет.

2)

$2^x +1 =3y^2$

Очевидно, что $x\geq 0$ ,поскольку в противном случае левая часть равенства нецелое число, а правая часть равенства целое число.

Предположим, что $x\geq 2$ , тогда $2^x$ делится на $4$, а значит $2^x+1$ дает при делении на 4 дает остаток 1.

Левая часть равенства число нечетное, но тогда и $3y^2$ - нечетное, а значит $y$ - также нечетное.

$y=2k-1$ , где $k$  целое число

$3y^2= 3(2k-1)^2 = 3(4k^2-4k+1) = 4n+3$ , где $n$-целое число

Таким образом, $3y^2$  дает при делении на $4$ остаток  $3$ , но $2^x+1$ дает при делении на 4 остаток 1, то есть мы пришли к противоречию.

Откуда: $0\leq x\leq 1$

Проверим $x=0$

$2^0+1=3y^2\\2=3y^2$

Решений в целых числах нет.

Проверим $x=1$

$2^1 +1 =3y^2\\3=3y^2\\y^2=1\\y=+-1$

То есть решение уравнения :

$\left \{ {{x=1} \atop {y=+-1}} \right.$

3)

$3x=5y^2+4y-1$

Разложим квадратный трехчлен из правой части на множители:

$5y^2+4y-1 = 0$

$D/4 = 2^2 -5*(-1) = 9 = 3^2\\y_{1,2} =\frac{-2+-3}{5}\\y_{1} =-1\\y_{2} =\frac{1}{5}\\5y^2+4y-1 = 5(y+1)(y-\frac{1}{5} ) =(y+1)(5y-1)\\3x = (y+1)(5y-1)$

Поскольку, число $3$ простое , то хотя бы один из членов $y+1$ или $5y-1$ делится на 3

Необходимо заметить, что если $y+1$ делится $3$ , то $5(y+1) =5y+5$ , также делится на 3 , а значит 5y+5-6 =5y-1 делится на 3.

Обратное утверждение также верно, если $5y-1$ делится на $3$ , то $5y-1+6$ делится на 3.

$5y+5= 5(y+1)$ делится на $3$, а поскольку

$5$ и $3$ -взаимнопростые, то $y+1$ делится на  3

Таким образом , для существования целых решений необходимо и достаточно, чтобы  $y+1$ делилось на $3$

$y=3k-1$ , где $k$ - целое число.

Таким образом, данное уравнение имеет бесконечно много целых решений:

$y=3k-1\\x=(y+1)(5y-1)\\x=\frac{3k(5(3k-1)-1)}{3} = k(15k-6) =3k(5k-2)$, где $k$- целое число (может быть равно 0)

Возможно, в последнем уравнении есть ошибка, ибо очень просто.

Если вам понравился ответ, сделай его лучшим!

Answer 2

Давайте попробуем решить данную систему уравнений в целых числах:

1. Уравнение \(x^2 = 2003y - 1\).

2. Уравнение \(2^x + 1 = 3y^2\).

3. Уравнение \(3x = 5y^2 + 4y - 1\).

Начнем с первого уравнения:

Уравнение \(x^2 = 2003y - 1\) можно переписать как:

\[x^2 + 1 = 2003y\]

Это означает, что \(x^2 + 1\) делится на 2003. Поскольку 2003 - простое число, то \(x^2 + 1\) также должно быть равно 2003 или -2003. Теперь мы имеем два уравнения:

1. \(x^2 + 1 = 2003y\) 2. \(x^2 + 1 = -2003y\)

Рассмотрим первое уравнение. Для \(x^2 + 1 = 2003y\), \(x^2\) должно быть нечетным (поскольку 1 - нечетное число, и четное число плюс нечетное число равно нечетному числу). Таким образом, \(x\) должно быть нечетным.

Теперь рассмотрим второе уравнение \(x^2 + 1 = -2003y\). Здесь \(x^2\) также должно быть нечетным, по тем же причинам.

Таким образом, мы приходим к выводу, что \(x\) нечетно в обоих случаях.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

Уравнение \(2^x + 1 = 3y^2\).

Заметим, что если \(x\) нечетно (как мы только что установили), то \(2^x\) также будет нечетным. Поэтому \(2^x + 1\) будет четным числом. Но правая сторона уравнения \(3y^2\) всегда нечетна (так как 3 - нечетное число, умноженное на квадрат целого числа), поэтому у нас нет целых решений для этого уравнения.

Таким образом, данная система уравнений не имеет целых решений.