Question

Найти предел lim x стремится к 0 (1-sin2x)^{ctgx} Очень нужно к зачету, помогите, пожалуйста

Answer 1

Ответ:

$e^{-2}$

Объяснение:

Берем натуральный логарифм от выражения под знаком предела.

ln(1-sin(2x))/tg(x) . Особенность $\frac{0}{0}$

Находим производную числителя: $-\frac{2cos(2x)}{(1-sin(2x)}$ При x=0, числитель равен -2.

находим производную знаменателя $\frac{1}{cos(x)^{2} }$ . При x=0 знаменатель равен 1

Тогда предел равен $\frac{-2}{1}=-2$

Переходя от логарифма к исходному выражению получаем $e^{-2}$

Answer 2

Для нахождения предела функции $\lim_{{x \to 0}} (1 - \sin^2(x))^{\cot(x)}$ можно воспользоваться знанием следующей тождественной тригонометрической формулы:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

Теперь мы можем выразить $1 - \sin^2(x)$ как $\cos^2(x)$:

$$1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$$

Итак, наш предел теперь выглядит следующим образом:

$$\lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\cot(x)}$$

Далее, используя эквивалентность $\cot(x)$ и $\frac{1}{{\tan(x)}}$, мы можем переписать предел следующим образом:

$$\lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\frac{1}{{\tan(x)}}}$$

Теперь воспользуемся фактом, что $\tan(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}$:

\lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\frac{1}{{\frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}}} = \lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}}}

Далее, обратим внимание на то, что $\frac{{\cos(x)}}{{\sin(x)}} = \cot(x)$, поэтому мы можем переписать предел следующим образом:

$$\lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\cot(x)}$$

Таким образом, мы видим, что исходное выражение совпадает с изначальным выражением, и предел равен:

$$\lim_{{x \to 0}} (1 - \sin^2(x))^{\cot(x)} = \lim_{{x \to 0}} (\cos^2(x))^{\cot(x)}$$

Теперь можно заметить, что при $x \to 0$, $\cos(x) \to 1$, и $\cot(x)$ также стремится к $\frac{1}{0}$, что является бесконечностью. Поэтому выражение принимает следующую форму $1^{\infty}$, которая является неопределенной формой. Для определения предела в таких случаях, можно воспользоваться правилом Лопиталя или другими методами.