Question

найдите наименьшее значение выражения х в квадрате+y в квадрате+4 x-8y

Answer 1

представим это выражение в виде:

(x+2)^2-4 +(y-4)^2-16=(x+2)^2+(y-4)^2 -20

минимальное значение будет -20 когда x=-2 y=4

Answer 2

Для поиска наименьшего значения выражения \(x^2 + y^2 + 4x - 8y\) можно воспользоваться методом завершения квадрата или геометрическим подходом.

Метод завершения квадрата:

1. Преобразуем выражение, завершив квадраты для переменных \(x\) и \(y\): \[x^2 + 4x + y^2 - 8y\] \[(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 8y + 16) - 4 - 16\] \[(x + 2)^2 + (y - 4)^2 - 20\]

2. Теперь видно, что наименьшее значение выражения \((x + 2)^2 + (y - 4)^2\) достигается при \(x = -2\) и \(y = 4\), а именно \(0\). Таким образом, наименьшее значение исходного выражения \(x^2 + y^2 + 4x - 8y\) равно \(-20\).

Геометрический подход:

Мы можем интерпретировать выражение \(x^2 + y^2 + 4x - 8y\) как сумму квадратов и линейных выражений, что представляет собой уравнение окружности с центром в точке \((-2, 4)\) и радиусом \(\sqrt{20}\). Наименьшее значение этого выражения будет равно квадрату радиуса окружности, то есть \(-20\).

Таким образом, наименьшее значение выражения \(x^2 + y^2 + 4x - 8y\) равно \(-20\).