Question

Доказать тождество sin10°×cos20°×cos40°=0,125​

Answer 1

Доказательство:

Воспользуемся формулой произведения синусов и косинусов:

$\boldsymbol{\sin(\alpha)\cos(\beta)=\cfrac{\sin(\alpha+\beta) +\sin(\alpha-\beta) }{2}}$

Докажем данное тождество:

$\boldsymbol{\dfrac{(2\cos(10)\cdot\sin(10))\cdot\cos(20)\cdot\cos(40)}{2\cos(10)}=0,125} \\ \\ \boldsymbol{\dfrac{\cos(40)\cdot\sin(40)}{4\cos(10)}=0,125} \\ \\ \boldsymbol{\dfrac{\sin(80)}{8\cos(10)}=0,125} \\ \\ \boldsymbol{\dfrac{\cos(10)}{8\cos(10)}=0,125} \\ \\ \boldsymbol{\underline{0,125=0,125}}$

Ответ:   Тождество доказано ☑.

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой для произведения синусов и косинусов углов:

sin α * cos β = (1/2) * [sin(α + β) + sin(α - β)]

Заметим, что 10° = 20° - 10° и 40° = 20° + 20°.

Тогда, применяя формулу, получаем:

sin 10° * cos 20° * cos 40° = (1/2) * [sin(20° + 10°) + sin(20° - 10°)] * cos 40°

= (1/2) * [sin 30° + sin 10°] * cos 40°

Мы знаем, что sin 30° = 0.5 и cos 40° ≈ 0.7660.

Теперь подставляем значения:

(1/2) * [0.5 + sin 10°] * 0.7660 ≈ 0.125

Таким образом, получаем, что левая часть равна правой, что и требовалось доказать.