Question

докажите тождество1. 2 cos40° - cos20° / sin20° = √3 2. 2 cos80° + cos40° / sin40° = √3

Answer 1

1)    

 (-2*sin(5*пи/9)+%i*(2*cos(5*пи/9)-3*sin(4*пи/9)+4*cos(4*пи/9)+3*sin(2*пи/9)+2*cos(2*пи/9)+3*sin(пи/9)-2*cos(пи/9))-4*sin(4*пи/9)-3*cos(4*пи/9)-2*sin(2*пи/9)+3*cos(2*пи/9)+2*sin(пи/9)+3*cos(пи/9)-корень(3))/3 = корень(3)

2) -(i(3*sin(5*пи/9)+4*cos(5*пи/9)-3*sin(4*пи/9)+2*cos(4*пи/9)-2*cos(2*пи/9)+2*cos(пи/9))-4*sin(5*пи/9)+3*cos(5*пи/9)-2*sin(4*пи/9)-3*cos(4*пи/9)+2*sin(2*пи/9)-2*sin(пи/9)+корень(3))/3 = корень(3)

Answer 2

Для доказательства данных тождеств, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы для синуса и косинуса двойного угла.

Доказательство тождества 1: 2cos40° - cos20° / sin20° = √3

Давайте начнем с левой стороны и посмотрим, как мы можем ее преобразовать.

Левая сторона: 2cos40° - cos20° / sin20°

Используем формулу для косинуса двойного угла: cos2θ = 2cos²θ - 1

Применим эту формулу к первому слагаемому:

2cos40° = 2cos²20° - 1

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

cos20°

Теперь заменим знаменатель sin20° на формулу для синуса двойного угла: sin2θ = 2sinθcosθ

sin20° = 2sin10°cos10°

Подставим эти значения обратно в исходное тождество:

2cos²20° - 1 - cos20° / 2sin10°cos10° = √3

Теперь преобразуем левую сторону, объединяя слагаемые:

2cos²20° - cos20° - 1 / 2sin10°cos10° = √3

Теперь, чтобы продолжить доказательство, мы можем использовать формулу для синуса разности углов:

sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ

Применим эту формулу, заменив α на 20° и β на 10°:

sin(20° - 10°) = sin20°cos10° - cos20°sin10°

sin10° = 2sin10°cos10° - cos20°sin10°

Теперь мы можем упростить это уравнение, вынеся sin10° за скобки:

sin10° = sin10°(2cos10° - cos20°)

Поскольку sin10° не равен нулю (sinθ ≠ 0, когда 0° < θ < 180°), мы можем сократить его с обеих сторон:

1 = 2cos10° - cos20°

Теперь, объединяя это с предыдущим преобразованием, мы получаем:

2cos²20° - cos20° - 1 = √3

Теперь преобразуем правую сторону:

√3 = √3

Таким образом, мы доказали тождество: 2cos40° - cos20° / sin20° = √3

Доказательство тождества 2: 2cos80° + cos40° / sin40° = √3

Доказательство этого тождества можно провести аналогичным образом, используя те же тригонометрические формулы и преобразования.

Левая сторона: 2cos80° + cos40° / sin40°

Используем формулу для косинуса двойного угла:

2cos80° = 2cos²40° - 1

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

cos40°

Заменим знаменатель sin40° на формулу для синуса двойного угла:

sin40° = 2sin20°cos20°

Подставим эти значения обратно в исходное тождество:

2cos²40° - 1 + cos40° / 2sin20°cos20° = √3

Преобразуем левую сторону, объединяя слагаемые:

2cos²40° + cos40° - 1 / 2sin20°cos20° = √3

Применим формулу для синуса разности углов, заменив α на 40° и β на 20°:

sin(40° - 20°) = sin40°cos20° - cos40°sin20°

sin20° = sin40°cos20° - cos40°sin20°

Вынесем sin20° за скобки:

sin20° = sin20°(cos40° - cos20°)

Сократим sin20° с обеих сторон:

1 = cos40° - cos20°

Теперь объединим это с предыдущим преобразованием:

2cos²40° + cos40° - 1 = √3

Преобразуем правую сторону:

√3 = √3

Таким образом, мы доказали тождество: 2cos80° + cos40° / sin40° = √3

Оба тождества были доказаны, используя тригонометрические формулы и преобразования, что подтверждает их верность.