Question

1) Из всех прямоугольников с периметром 48 см найдите тот, у которого площадь наибольшая. 2) Площадь прямоугольника 49 см2. При каком значении длины прямоугольника его периметр будет наименьшим?

Answer 1

Ответ: для первого - квадрат со стороной 12.

Объяснение:

1) P = 2a + 2b, S = ab. Докажем, что прямоугольник имеет наибольшую площадь, если он является квадратом.

Пусть одна из сторон прямоугольника равна х. Тогда вторая равна $\frac{48-2x}{2} =24-x$.

составим функцию: S(x) = x(24 - x) = 24x - x².

Найдем производную: S'(x) = 24 - 2x.

24 - 2х = 0; х = 12 - критическая точкаю

При переходе через точку х = 12 производная меняет знак с + на -. Следовательно, х - точка максимума, и в ней значение функции S(x) будет наибольшим.

Если а = 12 - первая сторона, то b = 24 - a = 12 - вторая сторона. Следовательно, искомый прямоугольник - квадрат со стороной 12 см.

Answer 2

1. Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью при заданном периметре, мы можем использовать принцип оптимизации. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Площадь = Длина x Ширина

Периметр прямоугольника равен:

Периметр = 2 x (Длина + Ширина)

Для данной задачи у нас есть периметр, равный 48 см:

Периметр = 48 см

Теперь мы можем выразить одну из переменных (например, Ширину) через другую (Длину) в формуле для периметра:

48 = 2 x (Длина + Ширина)

24 = Длина + Ширина

Ширина = 24 - Длина

Теперь мы можем подставить это выражение для Ширины в формулу для площади и получить площадь как функцию только от Длины:

Площадь = Длина x (24 - Длина)

Теперь мы можем найти максимум этой функции. Для этого можно взять производную площади по Длине, приравнять её к нулю и найти значения Длины, при которых производная равна нулю. Это точки экстремума функции. В данном случае, это будет максимум.

d(Площадь)/d(Длина) = 0

Для нахождения максимума, продифференцируем площадь по Длине и приравняем к нулю:

d(Площадь)/d(Длина) = 24 - 2Длина = 0

2Длина = 24

Длина = 12 см

Теперь мы нашли Длину, при которой площадь прямоугольника максимальна. Ширина будет также равна 12 см.

Итак, прямоугольник с размерами 12 см x 12 см имеет наибольшую площадь при периметре 48 см.

2. Для нахождения минимального периметра при заданной площади, нам дана площадь прямоугольника, равная 49 квадратным см:

Площадь = 49 см²

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины и ширины:

Площадь = Длина x Ширина

Так как площадь фиксирована (49 см²), и мы хотим найти минимальный периметр, мы можем решить эту задачу, выразив длину или ширину через другую переменную и подставив их в формулу для периметра. Например, выразим ширину через длину:

49 = Длина x Ширина

Ширина = 49 / Длина

Теперь, мы можем использовать это выражение для Ширины и формулу для периметра, чтобы выразить периметр P как функцию только от Длины:

P = 2 x (Длина + 49 / Длина)

Теперь, чтобы найти минимальное значение периметра, мы можем взять производную периметра по Длине, приравнять её к нулю и найти значения Длины, при которых производная равна нулю. Это будет точка экстремума функции.

d(P)/d(Длина) = 2 - 98 / Длина² = 0

98 / Длина² = 2

Длина² = 98 / 2

Длина² = 49

Длина = √49

Длина = 7 см

Таким образом, при длине прямоугольника, равной 7 см, его периметр будет минимальным.