Question

Второй член арифметической прогресии в 3 раза больше девятого ее члена. Найдите значение суммы первых 24 членов этой прогресии.​

Answer 1

По формуле n - го члена арифметической прогрессии:

$a_2=3a_9\\ \\ a_1+d=3(a_1+8d)\\ \\ a_1+d=3a_1+24d\\ \\ 2a_1+23d=0$

Сумма первых 24 членов этой прогрессии:

$S_{24}=\dfrac{2a_1+23d}{2}\cdot 24=0$

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно использовать формулы для арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия имеет общую формулу:

$a_n = a_1 + (n-1)d$,

где $a_n$ - n-й член прогрессии, $a_1$ - первый член, $n$ - номер члена, и $d$ - разница между соседними членами прогрессии.

У нас есть информация, что второй член прогрессии в 3 раза больше девятого члена:

$a_2 = 3a_9$.

Используем формулу для $a_2$ и $a_9$:

$a_2 = a_1 + d$ $a_9 = a_1 + 8d$

Теперь, с учетом условия, мы можем записать уравнение:

$a_1 + d = 3(a_1 + 8d)$

Раскроем скобки:

$a_1 + d = 3a_1 + 24d$

Теперь выразим $a_1$ через $d$:

$a_1 = 2d$

Теперь мы знаем, что первый член равен $2d$, а второй член равен $3a_1 = 3(2d) = 6d$.

Теперь, чтобы найти сумму первых 24 членов прогрессии, мы можем использовать формулу для суммы арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$,

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов, $n$ - количество членов.

В данном случае, $n = 24$, $a_1 = 2d$, и мы знаем, что разница $d$, так что:

$S_{24} = \frac{24}{2}(2(2d) + (24-1)d)$

Упростим уравнение:

$S_{24} = 12(4d + 23d)$ $S_{24} = 12(27d)$

Теперь умножим 12 на 27:

$S_{24} = 324d$

Таким образом, сумма первых 24 членов этой арифметической прогрессии равна $324d$.