Question

Общий призовой фонд турнира по волейболу не менее 37 тыс. руб. Из него выплачиваются командам деньги купюрами по 1 тыс. руб. по следующему правилу. Команда, занявшая 1 место, получит половину фонда и еще 0,5 тыс. руб.; вторая команда – половину оставшихся денег и еще 0,5 тыс. руб.; третья – половину остатка и еще 0,5 тыс. руб. и т.д. Известно, что после выдачи денег, в кассе осталось не более 4 тыс. руб. Какое минимальное число команд могло участвовать в турнире по этим правилам? Сколько при этом было денег в фонде, и сколько получила каждая команда, если известно, что купюры не разменивались?

Answer 1

Если каждый раз платили половину денег и еще 0,5 тыс., а платили бумажками по 1 тыс. без размена, значит, каждый раз количество денег было нечетным.
Например, если было 37 тыс, то половина - это 18,5 тыс.
Значит, заплатили 19 тыс (18,5 + 0,5) и осталось 18 тыс.
Это неправильный ответ, потому что должно быть каждый раз нечетное.
Нетрудно догадаться, что правильный ответ - это число вида 2^n - 1.
Наименьшее такое число, большее 37 - это 63.
1 команда получила 32 тыс, осталось 31. 2 команда - 16 тыс.,
3 команда - 8 тыс, 4 команда - 4 тыс. Осталось 3 тыс. - меньше 4 тыс.

Answer 2

Давайте начнем с того, что мы знаем, что после выдачи денег в кассе осталось не более 4 тыс. руб. Также нам известно, что из общего призового фонда в 37 тыс. руб. выплачиваются командам деньги купюрами по 1 тыс. руб. по определенному правилу.

Давайте предположим, что минимальное количество команд, участвующих в турнире, равно n. Тогда общий призовой фонд будет равен 1000n, так как каждая команда получает по 1000 рублей.

Теперь мы можем использовать информацию о том, что после выдачи денег в кассе осталось не более 4 тыс. руб., чтобы найти минимальное количество команд. Для этого мы можем пройтись по всем возможным вариантам и найти такое n, при котором останется не более 4 тыс. руб.

Давайте рассмотрим несколько вариантов: 1. Если участвует 1 команда, то она получит половину фонда (500n) и еще 0,5 тыс. руб., то есть 500n + 0,5 = 37,5 тыс. руб. Отсюда получаем, что n = 74, что приводит к общему фонду в 37 тыс. руб. 2. Если участвует 2 команды, то первая команда получит 500n + 0,5 тыс. руб., а вторая команда получит половину оставшихся денег и еще 0,5 тыс. руб. Таким образом, получаем уравнение 500n + 500n/2 + 0,5 = 37,5 тыс. руб, откуда n = 49, что приводит к общему фонду в 24,5 тыс. руб.

Продолжая этот процесс, мы можем найти, что минимальное количество команд, участвующих в турнире по этим правилам, равно 74. При этом общий призовой фонд будет 37 тыс. руб., и каждая команда получит 500 рублей.