Question

Помогите, пожалуйста, решить или киньте решение похожего задания, очень нужно. (тема границы/производные сложных функций) Решить задачу на нахождение наибольшего или наименьшего значения переменой величины. Из полосы жести широтой 11 см нужно сделать открытый сверху желоб, поперечный разрез которого имеет форму равносторонней трапеции. Дно желоба должно иметь широту 7 см. Какой должна быть ширина желоба, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

Answer 1

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

Чтобы найти ширину желоба, которая позволит вместить наибольшее количество воды, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Перед тем как начать, давайте введем переменные:

Пусть x будет длиной основания равносторонней трапеции (шириной желоба), а h - высотой равносторонней трапеции (глубиной желоба). Так как дно желоба имеет широту 7 см, то x будет равно 7 см.

Теперь нам нужно выразить высоту h через переменную x. Рассмотрим равностороннюю трапецию. Она может быть разделена на два треугольника: один прямоугольный и один равносторонний. Высота прямоугольного треугольника равна x/2, так как это половина основания равносторонней трапеции. Высота равностороннего треугольника равна x, так как это одна из сторон равносторонней трапеции.

Теперь мы можем записать выражение для общей высоты h:

h = x/2 + x = 3x/2

Теперь нам нужно выразить площадь трапеции через переменную x. Площадь трапеции можно найти как произведение средней линии (средней высоты) на длину основания:

A = (7 * 3x/2) = 21x/2

Теперь у нас есть выражение для площади трапеции в зависимости от x.

Чтобы найти максимальную площадь, мы можем взять производную этой функции и приравнять ее к нулю:

dA/dx = 21/2

Теперь найдем x:

21/2 = 0

Из этого уравнения видно, что производная по x равна постоянной величине, и она никогда не равна нулю. Это означает, что функция A(x) не имеет локальных экстремумов, и значит, максимальное значение A будет в точке, где производная равна нулю или на грани допустимых значений.

Теперь у нас есть два возможных варианта для определения максимальной площади:

1. Максимальное значение A будет в точке, где x находится на грани допустимых значений. То есть, x не может быть больше 11 см (ширина полосы жести).

2. Максимальное значение A будет в точке, где производная dA/dx равна нулю. Но как мы видим, это уравнение не имеет решений.

Следовательно, чтобы максимизировать площадь желоба, ширина x должна быть равной 11 см.