Question

6log3 2 * log4 3 * log5 4 * log6 5 * log7 6 * log8 7 =

Answer 1

6log3 3 * log4 4 *log5 5 * log6 6 * log7 7 * log8 2 = 6*1/3=2

Answer 2

Вы хотите узнать значение выражения \(6\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7\). Давайте разберемся.

Определение логарифма

Логарифм \( \log_b a \) это степень, в которую нужно возвести основание \( b \), чтобы получить число \( a \).

Правило произведения логарифмов

Если у нас есть произведение двух логарифмов с одинаковым основанием, то его можно записать в виде одного логарифма, взяв произведение аргументов под логарифмом. То есть: \[ \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) \]

Вычисление выражения

Теперь мы можем применить правило произведения логарифмов к данному выражению.

\[ 6\log_3 2 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \]

Мы можем преобразовать это выражение, используя правило произведения логарифмов:

\[ \log_3 2^6 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \]

Теперь давайте посчитаем значения под логарифмами:

\[ 2^6 = 64 \] \[ 3^{\log_4 3} = 3 \] \[ 4^{\log_5 4} = 4 \] \[ 5^{\log_6 5} = 5 \] \[ 6^{\log_7 6} = 6 \] \[ 7^{\log_8 7} = 7 \]

Теперь мы можем записать выражение в более простом виде:

\[ \log_3 64 \cdot \log_4 3 \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \]

Теперь найдем значения логарифмов:

\[ \log_3 64 = 3 \] (так как \(3^3 = 64\)) \[ \log_4 3 = \frac{1}{2} \] (так как \(4^{\frac{1}{2}} = 2\))

Теперь у нас осталось выразить и посчитать выражение:

\[ 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 = \frac{3}{2} \cdot \log_5 4 \cdot \log_6 5 \cdot \log_7 6 \cdot \log_8 7 \]

Давайте рассчитаем оставшиеся логарифмы и умножим результаты:

\[ \log_5 4 = \frac{2}{3} \] (так как \(5^{\frac{2}{3}} = 4\)) \[ \log_6 5 = \frac{1}{2} \] (так как \(6^{\frac{1}{2}} = 5\)) \[ \log_7 6 = \frac{1}{6} \] (так как \(7^{\frac{1}{6}} = 6\)) \[ \log_8 7 = \frac{1}{7} \] (так как \(8^{\frac{1}{7}} = 7\))

Теперь мы можем умножить результаты:

\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{84} \]

Т