Question

Прошу, помогите!!! Даю 50 баллов за верный ответ! Запишите полное обоснованное решение задачи. Дано уравнение: (p+4) x^2 - 3x + p = 0 а) Найдите наименьшее целое значение параметра p, при которомуравнение имеет корни разных знаков; б) найдите длину промежутка, в который должен попасть параметр p, чтобы уравнение имело хотя бы 1 корень; в) найдите сумму всехзначений p, при которых уравнение имеет ровно 1 корень.

Answer 1

Решение во вложении:

Answer 2

Давайте рассмотрим данное квадратное уравнение:

(p + 4)x^2 - 3x + p = 0

а) Чтобы уравнение имело корни разных знаков, дискриминант (D) должен быть положительным числом. Дискриминант вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac

где a, b и c - коэффициенты уравнения:

a = p + 4 b = -3 c = p

Теперь мы можем записать условие D > 0 и решить его относительно p:

D > 0 (-3)^2 - 4(p + 4)p > 0 9 - 4p^2 - 16p > 0 -4p^2 - 16p + 9 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала домножим все слагаемые на -1, чтобы изменить знак неравенства:

4p^2 + 16p - 9 < 0

Затем, мы можем разбить его на множители и решить неравенство:

(4p - 1)(p + 9) < 0

Теперь мы видим, что неравенство имеет два корня:

4p - 1 = 0 => 4p = 1 => p = 1/4 p + 9 = 0 => p = -9

Знак неравенства меняется в точках пересечения графика функции (4p - 1)(p + 9) с осью p. Так как нам нужно, чтобы 4p - 1 > 0 (чтобы удовлетворить D > 0), то p должно быть в интервале:

p ∈ (-∞, -9) ∪ (1/4, +∞)

Наименьшее целое значение параметра p, при котором уравнение имеет корни разных знаков, равно 0, так как это наименьшее целое число в интервале (1/4, +∞).

б) Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант D должен быть больше или равен нулю:

D ≥ 0 (-3)^2 - 4(p + 4)p ≥ 0 9 - 4p^2 - 16p ≥ 0

Теперь решим это квадратное неравенство, используя ту же методику:

4p^2 + 16p - 9 ≤ 0

(4p - 1)(p + 9) ≤ 0

И снова найдем точки пересечения с осью p:

4p - 1 = 0 => p = 1/4 p + 9 = 0 => p = -9

Знак неравенства меняется в точках пересечения, поэтому интервал, в котором p должен находиться, чтобы уравнение имело хотя бы один корень, равен:

p ∈ [-9, 1/4]

в) Чтобы уравнение имело ровно один корень, дискриминант D должен быть равен нулю:

D = 0 (-3)^2 - 4(p + 4)p = 0 9 - 4p^2 - 16p = 0

Решим это квадратное уравнение:

4p^2 + 16p - 9 = 0

Мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни этого уравнения:

D = b^2 - 4ac D = 16^2 - 4 * 4 * (-9) D = 256 + 144 D = 400

Теперь используем формулу для нахождения корней:

p = (-b ± √D) / (2a) p = (-16 ± √400) / (2 * 4) p = (-16 ± 20) / 8

Таким образом, корни равны:

p₁ = (20 - 16) / 8 = 1/2 p₂ = (-20 - 16) / 8 = -9/2

Сумма всех значений p, при которых уравнение имеет ровно один корень, равна:

p₁ + p₂ = (1/2) + (-9/2) = -4

Итак, сумма всех значений p, при которых уравнение имеет ровно один корень, равна -4.

Таким образом: а) Наименьшее целое значение параметра p, при котором уравнение имеет корни разных знаков, равно 0. б) Длина промежутка, в который должен попасть параметр p, чтобы уравнение имело хотя бы 1 корень, равна [-9, 1/4]. в) Сумма всех значений p, при которых уравнение имеет ровно 1 корень, равна -4.