Question

При каких значениях функция в точке х0=0:а) непрерывна; b) имеет производную; c) имеет непрерывную производную.

Answer 1

1) Непрерывна, если $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(0)\Leftrightarrow \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}=0$ и это верно для всех $\alpha > 0$ (теорема о сжатии)

2) Производная: $\exists f'(0)\Leftrightarrow \exists \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\text{finite}=\infty$ только если существует конечный предел из $\underset{{}}{\mathop{\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\, \frac{{\left| x \right|}^{\alpha }}\sin \frac{1}{x}{x}}}\,=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\left| x \right|}^{\alpha -1}}\sin \frac{1}{x}=0$, следовательно $\alpha > 1$

3) Непрерывная производная $f(a)\leq 1, \; f(x)=\frac{y_x-y_0}{x}\Rightarrow \lim\left (f(x_n)-f(y) \right )=\lim xn^{1-\alpha }\neq 0\Rightarrow \alpha > 2$

Answer 2

Для определения того, будет ли функция f(x) непрерывной, иметь производную и непрерывную производную в точке x0 = 0, нам необходимо рассмотреть пределы функции при x, стремящемся к 0, и анализировать их поведение.

а) Непрерывность: Функция f(x) непрерывна в точке x0 = 0, если предел функции при x, стремящемся к 0, существует и равен f(0). То есть, нужно проверить, что lim(x -> 0) f(x) = f(0).

b) Производная: Функция f(x) имеет производную в точке x0 = 0, если предел разности f(x) и f(0) при x, стремящемся к 0, существует. То есть, нужно проверить, что lim(x -> 0) [f(x) - f(0)]/x существует.

c) Непрерывная производная: Функция f(x) имеет непрерывную производную в точке x0 = 0, если она имеет производную в этой точке (пункт b) и эта производная непрерывна в окрестности точки 0.

Итак, для конкретной функции f(x) исследуйте пределы и производные в окрестности x0 = 0, чтобы определить, выполняются ли условия непрерывности, наличия производной и непрерывности производной в этой точке.