Question

Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 3,5,7...сумма которых не превосходит 120

Answer 1

По формуле суммы членов арифметической прогресии получаем

Sn=(A1*n+An*n)/2=120 (1)

Выразим An и D по основным формулам

An=A1+D*n - D

D=A2-A1

Теперь подставим An и D в первое уравнение выведенное нами

3*n+3*n+2*n^2-2*n=240

2*n^2+4*n-240=0

После деления левой и правой части на 2 получаем

n^2+2*n-120=0

Решаем квадратное уравнение

n1=(-2+22)/2=10

второе решение не верное так как n отрицательное

Answer 2

Для нахождения наибольшего числа членов арифметической прогрессии, сумма которых не превосходит 120, мы можем воспользоваться формулой для суммы членов арифметической прогрессии и искать количество членов, пока сумма не превысит 120. Формула для суммы членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $a$ - первый член прогрессии,
• $d$ - разность (шаг) между членами прогрессии.

В данном случае, первый член $a = 3$, разность $d = 2$ (потому что каждый следующий член увеличивается на 2), и нам нужно найти наибольшее n так, чтобы сумма $S_n$ не превосходила 120.

Теперь у нас есть уравнение:

$S_n = \frac{n}{2}(2 \cdot 3 + (n-1) \cdot 2)$

$S_n = \frac{n}{2}(6 + 2n - 2)$

$S_n = \frac{n}{2}(4 + 2n)$

Теперь мы можем найти наибольшее целое значение n, для которого $S_n \leq 120$:

$\frac{n}{2}(4 + 2n) \leq 120$

$n(4 + 2n) \leq 240$

$4n + 2n^2 \leq 240$

$2n^2 + 4n - 240 \leq 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Мы можем разделить все члены на 2:

$n^2 + 2n - 120 \leq 0$

Теперь найдем корни этого уравнения:

$n^2 + 2n - 120 = 0$

$(n + 12)(n - 10) = 0$

Корни: $n = -12$ и $n = 10$. Так как n должно быть положительным целым числом, то наибольшее n равно 10.

Таким образом, наибольшее число членов арифметической прогрессии 3, 5, 7..., сумма которых не превосходит 120, равно 10.