Question

23 . Дано функцію h(x) = (x-2)^2 + 1 Перед вами кілька тверджень, вирішіть чи правильні вони. А. Нерівність (x-2)^2+1 > 0 відбудеться для кожного Х. Поясніть за допомогою двох Прикладів Б. Вершина функції Максимуму і точки (2,1) В. Пряма y=3 перетинає графік функції рівно у двох точках

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

А. Правильно. Нерівність (x-2)^2+1 > 0 відбудеться для кожного Х, оскільки всі коефіцієнти у цій функції позитивні.

Приклади: для x = 0, (x-2)^2+1 = 5 > 0; для x = 4, (x-2)^2+1 = 9 > 0.

Б. Неправильно. Вершина функції Максимуму і точки (2,1) не є однаковими. Вершина функції Максимуму знаходиться в точці (2,3).

В. Правильно. Пряма y=3 перетинає графік функції рівно у двох точках: (2,3) та (4,3)

Answer 2

А. Нерівність (x-2)^2 + 1 > 0 відбудеться для кожного x.

Для довільного рівняння вигляду $a^2 + b^2 > 0$, де $a$ і $b$ - будь-які реальні числа, нерівність завжди вірна. Таким чином, у даному випадку $(x-2)^2 + 1$ - це квадратний вираз, який завжди буде більший або рівний нулю для будь-якого значення $x$. Отже, нерівність вірна для кожного $x$.

Приклад 1: Якщо $x = 2$, то $(2-2)^2 + 1 = 1 > 0$.

Приклад 2: Якщо $x = 0$, то $(0-2)^2 + 1 = 5 > 0$.

Таким чином, нерівність вірна для будь-якого $x$.

---

B. Вершина функції Максимуму і точки (2,1).

Функція $h(x) = (x-2)^2 + 1$ є параболою з вершиною у точці $(2,1)$. Оскільки маємо квадратний член зі змінною $x$, і його коефіцієнт додатній, то ця парабола відкрита вгору. Таким чином, точка $(2,1)$ є вершиною цієї параболи. Функція не має максимуму, оскільки вона відкрита вгору.

---

C. Пряма $y=3$ перетинає графік функції рівно у двох точках.

Щоб знайти перетин прямої з графіком функції, треба вирішити рівняння $y = (x-2)^2 + 1$ та $y = 3$ одночасно.

Підставимо $3$ за $y$ у рівняння функції $y = (x-2)^2 + 1$:

$3 = (x-2)^2 + 1$

Розгорнемо квадрат і вирішимо рівняння:

$2 = (x-2)^2$

$±\sqrt{2} = x - 2$

Отримуємо два можливих значення для $x$: $x_1 = 2 + \sqrt{2}$ та $x_2 = 2 - \sqrt{2}$.

Таким чином, пряма $y = 3$ перетинає графік функції в двох точках: $(2 + \sqrt{2}, 3)$ та $(2 - \sqrt{2}, 3)$.