Question

Укажи проміжки знакосталості функції. - a) y = x² - 4; б) у =-x² + 2x; B) y = x² - 5x +4. -​

Answer 1

Ответ:

Проміжки знакосталості функцій:

a) y = x² - 4

У даному випадку, функція y = x² - 4 - це квадратична функція, і її графік є параболою. Знак функції залежить від значення x:

- Якщо x < -2 (значення менше -2), то функція y буде додатною (+).

- Якщо -2 < x < 2 (значення між -2 і 2), то функція y буде від'ємною (-).

- Якщо x > 2 (значення більше 2), то функція y знову буде додатною (+).

Отже, проміжки знакосталості функції y = x² - 4 такі: (-∞, -2), (-2, 2), (2, ∞).

б) y = -x² + 2x

Аналогічно, функція y = -x² + 2x є квадратичною функцією, і її знак залежить від значення x:

- Якщо x < 0 (значення менше 0), то функція y буде додатною (+).

- Якщо 0 < x < 2 (значення між 0 і 2), то функція y буде від'ємною (-).

- Якщо x > 2 (значення більше 2), то функція y знову буде додатною (+).

Проміжки знакосталості функції y = -x² + 2x такі: (-∞, 0), (0, 2), (2, ∞).

в) y = x² - 5x + 4

Функція y = x² - 5x + 4 також є квадратичною функцією. Для визначення проміжків знакосталості розглянемо дискримінант квадратного трьохчлена:

D = (-5)² - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

D > 0, отже, функція має два дійсних корені:

x₁ = (-(-5) + √9) / (2 * 1) = (5 + 3) / 2 = 4

x₂ = (-(-5) - √9) / (2 * 1) = (5 - 3) / 2 = 1

Знак функції залежить від розташування x відносно цих коренів:

- Якщо x < 1 (значення менше 1), то функція y буде додатною (+).

- Якщо 1 < x < 4 (значення між 1 і 4), то функція y буде від'ємною (-).

- Якщо x > 4 (значення більше 4), то функція y знову буде додатною (+).

Проміжки знакосталості функції y = x² - 5x + 4 такі: (-∞, 1), (1, 4), (4, ∞).

Answer 2

Проміжки знакосталості функцій можна визначити, аналізуючи знак їхніх похідних або використовуючи метод вивчення знаку функцій на окремих інтервалах. Давайте розглянемо кожну з функцій:

a) y = x² - 4 Ця функція - квадратична функція зі старшим членом x^2. Для знаходження проміжків знакосталості, ми спробуємо знайти корені рівняння y = 0: x² - 4 = 0 (x - 2)(x + 2) = 0

Корені: x = 2 і x = -2. Тепер ми можемо використовувати ці корені для визначення проміжків знакосталості. Розглянемо три інтервали:

1. x < -2
2. -2 < x < 2
3. x > 2

На кожному інтервалі підставимо значення x у функцію і дізнаємося її знак:

1. При x < -2, x + 2 і x - 2 обидва менше нуля, отже, y = x² - 4 буде більше нуля.
2. При -2 < x < 2, x + 2 від'ємний, а x - 2 додатній, отже, y = x² - 4 буде від'ємною.
3. При x > 2, x + 2 і x - 2 обидва більше нуля, отже, y = x² - 4 буде більше нуля.

Проміжки знакосталості для функції y = x² - 4:

1. y > 0 для x < -2 та x > 2.
2. y < 0 для -2 < x < 2.

б) у = -x² + 2x Ця функція також є квадратичною. Ми спробуємо знайти корені рівняння у = 0: -x² + 2x = 0 -x(x - 2) = 0

Корені: x = 0 і x = 2. Розглянемо три інтервали:

1. x < 0

2. 0 < x < 2

3. x > 2

4. При x < 0, обидва добутки -x і x - 2 від'ємні, отже, у = -x² + 2x буде додатньою.

5. При 0 < x < 2, -x додатній, а x - 2 від'ємний, отже, у = -x² + 2x буде від'ємною.

6. При x > 2, обидва добутки -x і x - 2 від'ємні, отже, у = -x² + 2x буде додатньою.

Проміжки знакосталості для функції у = -x² + 2x:

1. у > 0 для x < 0 та x > 2.
2. у < 0 для 0 < x < 2.

в) y = x² - 5x + 4 Ця функція також є квадратичною. Ми спробуємо знайти корені рівняння y = 0: x² - 5x + 4 = 0 (x - 4)(x - 1) = 0

Корені: x = 4 і x = 1. Розглянемо три інтервали:

1. x < 1

2. 1 < x < 4

3. x > 4

4. При x < 1, обидва добутки (x - 4) і (x - 1) від'ємні, отже, y = x² - 5x + 4 буде додатньою.

5. При 1 < x < 4, (x - 4) від'ємний, а (x - 1) додатній, отже, y = x² - 5x + 4 буде від'ємною.

6. При x > 4, обидва добутки (x - 4) і (x - 1) додатні, отже, y = x² - 5x + 4 буде додатньою.

Проміжки знакосталості для функції y = x² - 5x + 4:

1. y > 0 для x < 1 та x > 4.
2. y < 0 для 1 < x < 4.