Question

Доведіть що 3 у дев’ятій степені + 7 у 3-й степені ділиться націло на 17 

Answer 1

Ответ:

Объяснение: ответ в изображении

Answer 2

Щоб довести, що $3^9 + 7^3$ ділиться націло на 17, ми можемо використати теорему малого Ферма (малого теореми Ферма).

Теорема малого Ферма виглядає так: Якщо $p$ - просте число, а $a$ - ціле число, яке не ділиться на $p$, то $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.$

У нашому випадку $p = 17$, і нам потрібно перевірити, чи $3^9 + 7^3 \equiv 1 \pmod{17}$.

Спершу знайдемо залишок від ділення $3^9$ на 17: $3^9 = 19683.$ Тепер поділімо $19683$ на $17$: $19683 = 17 \cdot 1157 + 14.$

Тепер знайдемо залишок від ділення $7^3$ на 17: $7^3 = 343.$ Тепер поділімо $343$ на $17$: $343 = 17 \cdot 20 + 3.$

Отже, ми маємо: $3^9 + 7^3 = 17 \cdot 1157 + 14 + 17 \cdot 20 + 3 = 17 \cdot 1177 + 17.$

Якщо ми взяли $17$ за спільний множник, то отримаємо: $3^9 + 7^3 = 17 \cdot (1177 + 1).$

Тепер ми бачимо, що $3^9 + 7^3$ представляється у вигляді добутку числа $17$ і іншого цілого числа $(1177 + 1)$. Оскільки $17$ ділиться на $17$ без залишку, то і наше вираз $3^9 + 7^3$ також ділиться на $17$ без залишку.

Таким чином, $3^9 + 7^3$ ділиться націло на $17$.