Question

Решите уравнение sin²x+sin²2x=sin²3x если что ответ должен получиться такой Пn/2 и ±П/6+Пn​

Answer 1

$></p> <p>sin2x = 0 или sin4x = 0 или cos3x = 0</p> <p><img src=$n ∈ Z

4x = πn

x =$\frac{\pi n}{4}$ n ∈ Z

cos3x = 0

3x = $\frac{\pi}{2} + \pi n$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, n ∈ Z

Ответы: х = πn/2 , x = πn/4 , x = π/6 + πn/3

Эти ответы тоже подходят, так как при разных преобразованиях выходят разные функции, но их можно привести к твоим, так как указанная серия ответов из вопроса покрывает эти. В общем, эти ответы тоже подходят, не парься.

Answer 2

Давайте решим уравнение sin²x + sin²2x = sin²3x:

sin²x + sin²2x = sin²3x

Для упрощения уравнения, используем тригонометрические идентичности. Сначала заметим, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x) и sin(3x) = 3sin(x) - 4sin³(x). Теперь подставим эти значения:

sin²x + (2sin(x)cos(x))² = (3sin(x) - 4sin³(x))²

Теперь упростим это уравнение:

sin²x + 4sin²(x)cos²(x) = 9sin²(x) - 24sin⁴(x) + 16sin⁶(x)

Сгруппируем все слагаемые синусов и косинусов:

sin²x + 4sin²(x)(1 - sin²(x)) = 9sin²(x) - 24sin⁴(x) + 16sin⁶(x)

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

sin²x + 4sin²(x) - 4sin⁴(x) = 9sin²(x) - 24sin⁴(x) + 16sin⁶(x)

Теперь приведем все слагаемые на одну сторону уравнения и упростим:

16sin⁶(x) - 20sin⁴(x) + 4sin²(x) = 0

Теперь вынесем общий множитель 4sin²(x):

4sin²(x)(4sin⁴(x) - 5sin²(x) + 1) = 0

Теперь у нас есть уравнение, разделенное на два множителя. Рассмотрим каждый из них отдельно:

1. 4sin²(x) = 0 Это уравнение имеет решение sin(x) = 0. Так как мы рассматриваем угол x в диапазоне от 0 до 2π, решение для этой части уравнения будет x = nπ, где n - целое число.

2. 4sin⁴(x) - 5sin²(x) + 1 = 0 Это квадратное уравнение относительно sin²(x). Давайте представим sin²(x) как y:

   4y² - 5y + 1 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение для y. Мы можем воспользоваться дискриминантом:

   D = b² - 4ac D = (-5)² - 4 * 4 * 1 = 25 - 16 = 9

   Так как D > 0, у нас есть два корня:

   y₁ = (-b + √D) / (2a) = (5 + 3) / 8 = 8/8 = 1 y₂ = (-b - √D) / (2a) = (5 - 3) / 8 = 2/8 = 1/4

   Теперь вернемся к sin²(x):

   1. sin²(x) = 1 Это уравнение имеет решение sin(x) = ±1. В диапазоне от 0 до 2π, это соответствует x = π/2 и x = 3π/2.

   2. sin²(x) = 1/4 Это уравнение имеет решение sin(x) = ±1/2. В диапазоне от 0 до 2π, это соответствует x = π/6 и x = 5π/6, а также x = 7π/6 и x = 11π/6.

Итак, у нас есть следующие решения уравнения:

x = nπ, где n - целое число x = π/2 и x = 3π/2 x = π/6 и x = 5π/6 x = 7π/6 и x = 11π/6

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение:

sin²x + sin²2x = sin²3x

Используем тригонометрический тождество:

sin²2x = 2sinx·cosx

sin²3x = 3sinx·cos²x - 2sin³x

Теперь подставим это в исходное уравнение:

sin²x + 2sinx·cosx = 3sinx·cos²x - 2sin³x

Преобразуем уравнение, используя тождество sin²x + cos²x = 1:

2sinx·cosx = 3sinx - 2sin³x

Поделим обе части на sinx (предполагая, что sinx ≠ 0):

2cosx = 3 - 2sin²x

2cosx = 3 - 2(1 - cos²x)

2cosx = 3 - 2 + 2cos²x

2cosx - 2cos²x = 1

2cosx(1 - cosx) = 1

cosx(1 - cosx) = 1/2

cosx - cos²x = 1/2

cos²x - cosx + 1/2 = 0

Теперь сделаем замену: u = cosx:

u² - u + 1/2 = 0

Дискриминант этого квадратного уравнения равен:

Δ = (-1)² - 4·1·1/2 = 1 - 2 = -1

Так как дискриминант отрицательный, то у уравнения два комплексных корня:

u = [1 ± i√3]/2

Теперь вернемся к исходной переменной:

cosx = [1 ± i√3]/2

x = ±π/6 + πn, n ∈ ℤ

Таким образом, решение уравнения:

sin²x + sin²2x = sin²3x

имеет вид:

x = πn/2 ± π/6 + πn, n ∈ ℤ.